בקצרה: מבחני ההשוואה מאפשרים לקבוע אם טור חיובי מתכנס בלי לחשב את סכומו: משווים אותו לטור שכבר מכירים, כמו הטור ההרמוני (מתבדר), הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{k^2} }[/math] (מתכנס) או טור הנדסי. בהשוואה הישירה, טור שקטן מטור מתכנס מתכנס, וטור שגדול מטור מתבדר מתבדר; בשני הכיוונים האחרים ההשוואה אינה אומרת כלום. בהשוואה הגבולית מחשבים את הגבול של מנת האיברים: אם הוא מספר חיובי סופי, האיברים "באותו סדר גודל", והטורים מתכנסים או מתבדרים יחד ("חברים"). שני המבחנים תקפים רק לטורים חיוביים, ולכן בודקים זאת לפני שמשתמשים בהם.
▶ ההרצאה: מבחן ההשוואה הראשון והגבולי לטורים חיוביים
משמאל: האיברים [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} }[/math] (עמודות ירוקות) קטנים מהאיברים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] של הטור הטלסקופי מדוגמה 1 (עמודות תכולות; [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2-n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]). מימין: לכן גם הסכומים החלקיים מקיימים [math]\displaystyle{ S_n\le D_n }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ D_n=2-\frac{1}{n} }[/math] (עיגולים חלולים) מתכנסת ולכן חסומה, כאן על ידי [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הקו המקווקו); הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] (נקודות מלאות) עולה כי הטור חיובי, וחסומה על ידי אותו חסם, ולכן מתכנסת. זה בדיוק רעיון ההוכחה של מבחן ההשוואה הראשון. הקו המנוקד הוא הגבול [math]\displaystyle{ \lim S_n=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\approx1.645 }[/math].
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות ממשיות. הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] נקראים חברים אם שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים, כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס.
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to c }[/math].
(א) אם [math]\displaystyle{ c=\infty }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n>b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], ולכן: אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס, אזי גם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס.
(ב) אם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n<b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], ולכן: אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס, אזי גם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס.
(ג) אם [math]\displaystyle{ 0<c<\infty }[/math], אזי הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math]חברים, כלומר הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אם ורק אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{k^2} }[/math] מתכנס: השוואה לטור טלסקופי
חישוב ישיר של [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} }[/math] אינו אפשרי, ולכן נשווה לטור שאנחנו כבר יודעים שהוא מתכנס. כשמקטינים את המכנה השבר גדל: לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<n^2-n<n^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-n} }[/math] (ב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] המכנה [math]\displaystyle{ n^2-n }[/math] מתאפס). נגדיר [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2-n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ 0\le\frac{1}{n^2}\le b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] (ב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] יש שוויון). הטור [math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] טלסקופי: לכל [math]\displaystyle{ k\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_k=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} }[/math], ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא [math]\displaystyle{ D_n=1+\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =1+\left(1-\frac{1}{n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =2-\frac{1}{n}\to2 }[/math]. לכן הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס, ולפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} }[/math] מתכנס. החסמים: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n\le D_n<2 }[/math] (זה בדיוק רעיון ההוכחה של המבחן), ולכן במעבר לגבול באי־שוויון [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\le2 }[/math]. מצד שני, הטור חיובי ולכן [math]\displaystyle{ S_n\ge S_1=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ובמעבר לגבול [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\ge1 }[/math]. (הסכום המדויק הוא [math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}\approx1.645 }[/math], אבל זה כבר אינו בחומר הקורס.)
מקור: תמליל 38 (DDOups05oms) 00:36–01:38 (t=36s): "מה לגבי התור 1 חלקי K בריבוע? ... הרעיון הוא להשוות אותו לתור אחר שאנחנו מכירים ויודעים שמתכנס" (00:53), ההשוואה רק לכל n>1 כי אסור להציב 0 במכנה (01:03), "כיוון שמדובר בתור טלסקופי והוכחנו שהוא מתכנס" (01:25); דף הקורס rev 90835, סעיף ====מבחני ההשוואה==== (הדוגמה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n^2-n} }[/math]); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 43–44 (G1 E47); מאגר 3.3-02 (◆, ק' 2, בוחן ✓; שם גם החסם [math]\displaystyle{ 1\le\sum\frac{1}{n^2}\le2 }[/math], לוח קיץ 12.8.21, R4-X29, שם דרך מבחן האינטגרל שאינו בקורס). ההגדרה [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math] נוספה כדי להפעיל את מבחן ההשוואה בדיוק כפי שהוא מנוסח (לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]).
דוגמה 2: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+\sin n}{n^2+2} }[/math]
קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+\sin n}{n^2+2} }[/math] מתכנס, והוכיחו את תשובתכם.
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n+\sin n}{n^2+2} }[/math]. קודם כול, הטור חיובי: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sin n\ge-1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ n+\sin n\ge n-1\ge0 }[/math]. רק אחרי הבדיקה הזו מותר להשתמש במבחני ההשוואה. נקטין את המונה: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge b_n\ge0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ b_n=\frac{n-1}{n^2+2} }[/math]. האיבר [math]\displaystyle{ b_n }[/math] "מתנהג כמו" [math]\displaystyle{ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} }[/math], ולכן נשווה אותו לטור ההרמוני בעזרת מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{1/n}=\frac{n^2-n}{n^2+2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}\to1 }[/math] (אריתמטיקה של גבולות). הגבול [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ 0<1<\infty }[/math], ולכן הטורים [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] חברים. הטור ההרמוני מתבדר (משפט 3.3.3), ולכן [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר. לבסוף, [math]\displaystyle{ 0\le b_n\le a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] והטור הקטן [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר, ולכן לפי מסקנה 3.3.5 הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+\sin n}{n^2+2} }[/math]מתבדר. דרך נוספת: אפשר להשוות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עצמו לטור ההרמוני: [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{1/n}=\frac{n^2+n\sin n}{n^2+2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1+\frac{\sin n}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}\to1 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \frac{\sin n}{n}\to0 }[/math] (אפסה כפול חסומה). כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] והגבול מקיים [math]\displaystyle{ 0<1<\infty }[/math], לפי מבחן ההשוואה הגבולי הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] חבר של הטור ההרמוני, ולכן מתבדר. הסינוס החסום אינו משנה את "סדר הגודל" של האיבר.
מקור: מבחן לדוגמה תש"ף, 89-132 מדמ"ח (19CSInfi1dumbtest.pdf, 15.2.20, אלעד עטייא וארז שיינר), שאלה 3א; פתרון ארז (19CSInfi1dumbtestSol.pdf עמ' 2): הדרך הראשונה שם היא פירוק לטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{n}{n^2+2} }[/math] (חבר של ההרמוני) ועוד טור מתכנס בהחלט, ואחריה "במחשבה שנייה, פתרון קל יותר": [math]\displaystyle{ n+\sin n\ge0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \frac{n+\sin n}{n^2+2}\ge\frac{n-1}{n^2+2}\sim\frac{1}{n} }[/math], "גדול יותר ממתבדר ולכן מתבדר" (הפתרון כאן הוא הדרך הזו, עם כל הנימוקים); מאגר 3.3-36 (◆, ק' 2, בוחן ✓; W4b E8-Q3א).
דוגמה 3: גדול ממתכנס לא אומר כלום: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2} }[/math]
קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2} }[/math] מתכנס.
הטור חיובי. ניסיון ראשון, השוואה ישירה: [math]\displaystyle{ n!=1\cdot2\cdots n\le n^n }[/math] (כל אחד מ־[math]\displaystyle{ n }[/math] הגורמים קטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ n }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\le n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2}\ge\frac{1}{n^2} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס (דוגמה 1), אבל גדול ממתכנס לא אומר כלום: הטור הגדול יכול להתכנס לסכום גדול יותר, ויכול גם להתבדר. השוואה גבולית עם [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2} }[/math]: נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_n=\frac{n^n}{n!} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}=\left(\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right)^2 }[/math] [math]\displaystyle{ =\left(\sqrt[n]{c_n}\right)^2 }[/math]. את הגבול של [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{c_n} }[/math] נחשב לפי כלל המנה (משפט 2.7.1(ג); [math]\displaystyle{ c_n>0 }[/math]): [math]\displaystyle{ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(n+1)^n}{n^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e }[/math] (הגבול האחרון הוא [math]\displaystyle{ e }[/math] לפי משפט 2.9.5.) לכן [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{c_n}\to e }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to e^2 }[/math]. [math]\displaystyle{ 0<e^2<\infty }[/math], ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי הטורים [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] חברים. הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס, ולכן הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2} }[/math]מתכנס. המסקנה: האיברים אמנם גדולים מ־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2} }[/math], אבל היחס ביניהם שואף למספר חיובי סופי ([math]\displaystyle{ e^2 }[/math]), ולכן הם "באותו סדר גודל". כלשון הסרטון: "מותר להשוות אם מדובר באותו סדר גודל".
מקור: תמליל 38 (DDOups05oms) 03:56–05:17 (t=236s): ההשוואה הישירה [math]\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt[n]{n!})^2}\ge\frac{1}{n^2} }[/math] ו"גדול ממתכנס לא אומר כלום" (05:04, t=304s); 05:31–07:09 (t=331s): [math]\displaystyle{ \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e }[/math] דרך כלל המנה (בתמליל "מבחן המנה"); 07:33–07:47 (t=453s): "הגבול הוא סך הכל E בריבוע"; 10:36–10:45 (t=636s): המסקנה שהטור מתכנס; 13:00–13:04 (t=780s): "מותר להשוות אם מדובר באותו סדר גודל"; דף הקורס rev 90835, סעיף ====מבחני ההשוואה==== (הדוגמה [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{(\sqrt[k]{k!})^2}\sim\sum\frac{1}{k^2} }[/math]); מערך תרגול תשע"ב, טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות, תרגיל 3 (עם פתרון); מאגר 3.3-31 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓ 5–7 דק').
דוגמה 4: שני כיוונים, שני מבחנים: [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{a_n}{1+a_n} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. הוכיחו שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אם ורק אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{1+a_k} }[/math] מתכנס.
נסמן [math]\displaystyle{ b_n=\frac{a_n}{1+a_n} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1+a_n>1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0<b_n<a_n }[/math]. כיוון ראשון. נניח שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] מתכנס. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0\le b_n\le a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור הקטן יותר [math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] מתכנס. כיוון שני. נניח שהטור [math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] מתכנס. כאן השוואה ישירה לא עוזרת: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולה מ־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], וגדול ממתכנס לא אומר כלום. לכן נשתמש במבחן ההשוואה הגבולי. לפי התנאי ההכרחי להתכנסות טור (משפט 3.1.3) [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{1+a_n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(1+a_n)-a_n}{1+a_n}=1-b_n }[/math] [math]\displaystyle{ \to1-0=1 }[/math]. הגבול מקיים [math]\displaystyle{ 0<1<\infty }[/math], ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי (סעיף (ג), עבור הסדרות [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n }[/math]) הטורים [math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] חברים. הטור [math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] מתכנס, ולכן גם [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] מתכנס. הדרישה [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] (ולא רק [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math]) מבטיחה שהמנה [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n} }[/math] מוגדרת לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
מקור: XI X37, גיליון 5 "טורים חיוביים - חלק תאורטי" (הוכחה מודרכת; G3, שלד הפתרון של ארז: "נשתמש כאן במבחן ההשוואה הגבולי... [math]\displaystyle{ \lim\frac{1}{1+a_n}=\lim\frac{1+a_n}{1+a_n}-\frac{a_n}{1+a_n}=1 }[/math]. זה מספר סופי שונה מאפס, ולכן שני הטורים חברים"); לוח קיץ 8.8.21, 89-132 מדמ"ח (R4-X27, "שני הכיוונים נחוצים"); ש"ב HW-A 6.1b תשע"א (G5; שם בדרך אחרת: החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{1+a_n}\ge\frac{2}{3}a_n }[/math]); מאגר 3.3-04 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓ 7 דק'). בנוסח המקורי "יהי טור חיובי"; כאן [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] כדי שהמנה תהיה מוגדרת.
טעויות נפוצות
גדול ממתכנס וקטן ממתבדר אינם אומרים כלום: מ־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\left(\sqrt[n]{n!}\right)^2}\ge\frac{1}{n^2} }[/math] אי אפשר להסיק דבר על הטור (בסרטון, 05:04), וגם מ־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n} }[/math] אי אפשר להסיק ש [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתבדר; ההשוואה הישירה עובדת רק בכיוונים "קטן ממתכנס" ו"גדול ממתבדר".
להפעיל את מבחן ההשוואה על טור שאינו חיובי: [math]\displaystyle{ -1\le\frac{1}{n^2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] והטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס, אבל [math]\displaystyle{ \sum(-1) }[/math] מתבדר; לכן גם "[math]\displaystyle{ \frac{\sin n}{n^2}\le\frac{1}{n^2} }[/math] ולכן הטור מתכנס" אינו נימוק תקף, וצריך להשוות את [math]\displaystyle{ \left|\frac{\sin n}{n^2}\right| }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2} }[/math] ולהשתמש בכך שטור מתכנס בהחלט מתכנס.
גם במבחן ההשוואה הגבולי החיוביות הכרחית: עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to1 }[/math] (המנה מוגדרת לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]), אבל [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס (לפי מבחן לייבניץ, שיילמד בהמשך) ו־[math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר.
כשהגבול הוא [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ c=\infty }[/math] המבחן עובד בכיוון אחד בלבד: עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר, ובכל זאת [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס; רק גבול חיובי סופי מבטיח שהטורים "חברים".
לכתוב "[math]\displaystyle{ a_n\sim\frac{1}{n} }[/math] ולכן מתבדר" בלי נימוק: צריך לחשב את [math]\displaystyle{ c=\lim\frac{a_n}{b_n} }[/math], לוודא ש [math]\displaystyle{ 0<c<\infty }[/math], לנקוב בשם המבחן ולציין שהטור שמשווים אליו (כאן ההרמוני) מתבדר.
לתרגול
מועד מיוחד תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 3א: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sqrt{n}\sin n+n}{n^2} }[/math], פיצול לטור מתכנס בהחלט ולטור מתבדר (פתרון של ארז). קושי 2.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 3א: [math]\displaystyle{ \sum(\sqrt[n]n-1) }[/math] מתבדר, השוואה לטור ההרמוני (פתרון). קושי 2–3.
![משמאל: האיברים [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} }[/math] (עמודות ירוקות) קטנים מהאיברים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] של הטור הטלסקופי מדוגמה 1 (עמודות תכולות; [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2-n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]). מימין: לכן גם הסכומים החלקיים מקיימים [math]\displaystyle{ S_n\le D_n }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ D_n=2-\frac{1}{n} }[/math] (עיגולים חלולים) מתכנסת ולכן חסומה, כאן על ידי [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הקו המקווקו); הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] (נקודות מלאות) עולה כי הטור חיובי, וחסומה על ידי אותו חסם, ולכן מתכנסת. זה בדיוק רעיון ההוכחה של מבחן ההשוואה הראשון. הקו המנוקד הוא הגבול [math]\displaystyle{ \lim S_n=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\approx1.645 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-05.png)