בקצרה: הטור ההנדסי הוא סכום אינסופי שבו כל מחובר מתקבל מקודמו על ידי כפל באותו מספר [math]\displaystyle{ x }[/math], המנה: אחד, ועוד [math]\displaystyle{ x }[/math], ועוד [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], וכן הלאה. כשהמנה קטנה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] בערך מוחלט, המחוברים קטנים מהר מספיק, והסכום האינסופי הוא מספר סופי עם נוסחה מפורשת, [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math]; בכל מקרה אחר הסכומים החלקיים בורחים לאינסוף או מתנדנדים, הטור מתבדר, ואסור להציב בנוסחה. זה אחד הטורים המעטים שאת סכומם מחשבים במפורש, ובהמשך הפרק הוא אמת המידה שאליה משווים טורים אחרים: מבחני המנה והשורש מוכחים בהשוואה לטור הנדסי.
▶ ההרצאה: הטור ההנדסי
הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=1+x+\dots+x^{n-1} }[/math] של הטור ההנדסי. משמאל, [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ x=\frac{2}{3} }[/math] (הנקודות הירוקות) הסכומים החלקיים עולים ושואפים ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=3 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x=-\frac{2}{3} }[/math] (הנקודות התכולות) הם קופצים לסירוגין מעל הגבול [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\frac{3}{5} }[/math] ומתחתיו ושואפים אליו (בשני המקרים [math]\displaystyle{ S_1=1 }[/math]). מימין, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]: הסכומים החלקיים הם [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math]; לסדרה שני גבולות חלקיים, [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הטור מתבדר. הקו האדום הוא הערך [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\frac{1}{2} }[/math] שהנוסחה הייתה נותנת: הוא אינו סכום הטור, כי הנוסחה נכונה רק כש [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=n\to\infty }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] אינה חסומה.
יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. הטור ההנדסי עם המנה [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty x^k }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty x^k }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math], ובמקרה זה מתקיים
דוגמה 1: החברים והדלק: מ־[math]\displaystyle{ k=0 }[/math] או מ־[math]\displaystyle{ k=1 }[/math]?
בכל חודש מחיר הדלק יורד באחוז אחד לעומת החודש הקודם, ושני חברים צורכים בכל חודש אותה כמות דלק. נמדוד כל תשלום ביחידות של מחיר התדלוק בחודש הראשון. החבר הראשון מתדלק לפני ההוזלה ומשלם [math]\displaystyle{ 1,\ 0.99,\ 0.99^2,\dots }[/math]; החבר השני מתדלק אחרי ההוזלה ומשלם [math]\displaystyle{ 0.99,\ 0.99^2,\ 0.99^3,\dots }[/math]. חשבו את סך כל התשלומים של כל אחד מהם, אם ימשיכו כך לנצח. הראשון טוען שההבדל ביניהם הוא רק התשלום של החודש הראשון, והשני טוען שהוא חוסך אחוז אחד מסך כל התשלומים. מי צודק?
נסמן [math]\displaystyle{ x=0.99 }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math], ולכן לפי משפט 3.1.9 שני הטורים מתכנסים, ו־ [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-0.99}=100 }[/math] (החבר הראשון), [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{0.99}{1-0.99}=99 }[/math] (החבר השני). הראשון צודק:[math]\displaystyle{ 100-99=1 }[/math], בדיוק התשלום של החודש הראשון. כך לכל [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]: הטור מ־[math]\displaystyle{ k=1 }[/math] הוא הטור מ־[math]\displaystyle{ k=0 }[/math] בלי האיבר [math]\displaystyle{ x^0=1 }[/math] (טענה 3.1.5), ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}-1 }[/math]. גם השני צודק: נעשה מכנה משותף, [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}-1=\frac{1-(1-x)}{1-x} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{x}{1-x}=x\cdot\frac{1}{1-x} }[/math]. כלומר סך התשלומים של השני הוא [math]\displaystyle{ x }[/math] כפול סך התשלומים של הראשון: [math]\displaystyle{ 99=0.99\cdot100 }[/math]. להוריד את התשלום של החודש הראשון זה בדיוק כמו להוזיל את כל התשלומים באחוז אחד. המסקנה לחישובים: [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty x^k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x^k }[/math] הם טורים שונים, ולכן תמיד בודקים מאיזה אינדקס הטור מתחיל.
מקור: תמליל 33 (suDMRh69Lgc): הסיפור 00:00–00:54 (t=0s); הפתרון 04:29–06:56 (t=269s): "החבר הראשון מתחיל לספור מ-K שווה 0" (05:40), "בואו נעשה מכנה משותף" (06:22), "להוריד את החודש הראשון מהתשלומים נותן בדיוק את אותה תוצאה כמו להוזיל את סך התשלומים ב-1%" (06:47–06:50); מוסר ההשכל של הסרטון: "אל תתחברו עם אנשים קמצנים" (06:59)
דוגמה 2: טור הנדסי שמתחיל באמצע (שאלת בוחן)
חשבו את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^\infty5\left(\frac{2}{3}\right)^n }[/math].
הטור מתחיל ב־[math]\displaystyle{ n=3 }[/math] ולא ב־[math]\displaystyle{ n=0 }[/math], ולכן אי אפשר להציב ישירות ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math]. נחשב את הטור כולו ונחסיר ממנו את שלושת האיברים החסרים. כיוון ש [math]\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}\right|<1 }[/math], לפי משפט 3.1.9 [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3 }[/math]. השמטת שלושת האיברים הראשונים אינה משפיעה על ההתכנסות ומחסירה אותם מהסכום (טענה 3.1.5, שלוש פעמים): [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n }[/math] [math]\displaystyle{ =3-\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =3-\frac{19}{9}=\frac{8}{9} }[/math]. לפי חשבון טורים (טענה 3.1.7(א)) מותר להוציא את הקבוע [math]\displaystyle{ 5 }[/math] מהטור, ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^\infty5\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{40}{9} }[/math]. כלל אצבע: לכל [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=m}^\infty x^n=\frac{x^m}{1-x} }[/math] (הטור כולו, [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math], פחות [math]\displaystyle{ 1+x+\dots+x^{m-1}=\frac{1-x^m}{1-x} }[/math]), כלומר האיבר הראשון חלקי אחד פחות המנה. בדוגמה: [math]\displaystyle{ \frac{5\cdot(2/3)^3}{1-2/3}=\frac{40}{9} }[/math].
מקור: XI X48 (גיליון 6, "חישוב טור הנדסי", משוב מלא של ארז בדיוק בדרך הזו: a_1(1/(1−q) − (1−q^{n_1})/(1−q)) = a_1q^{n_1}/(1−q); מסומן לבוחן, 3 דק'; G3); מאגר 3.1-10 (◆, ק' 1, בוחן ✓, המופע Σ_{n≥3}5(2/3)^n = 40/9); ש"ב HW-A 6.3, HW-B 6.2 (G5)
דוגמה 3: שני טורים הנדסיים בטור אחד (שאלת בוחן)
האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math] מתכנס? אם כן, מצאו את סכומו.
נפרק כל איבר לשני מחוברים: [math]\displaystyle{ \frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(-\frac{2}{3}\right)^n }[/math]. הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{2}{3}\right)^n }[/math] הם טורים הנדסיים עם מנה שערכה המוחלט [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}<1 }[/math], ולכן לפי משפט 3.1.9 שניהם מתכנסים, וסכומיהם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{2/3}{1-2/3}=2 }[/math], [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{2}{3}\right)^n }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{-2/3}{1+2/3}=-\frac{2}{5} }[/math]. לפי חשבון טורים (טענה 3.1.7(ב)) סכום של שני טורים מתכנסים הוא טור מתכנס, וסכומו הוא סכום הסכומים. לכן הטור מתכנס, ו־ [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =2-\frac{2}{5}=\frac{8}{5} }[/math]. בדיקה בדרך שנייה: עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי [math]\displaystyle{ 2^n+(-2)^n=0 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n=2j }[/math] האיבר הוא [math]\displaystyle{ \frac{2\cdot4^j}{9^j}=2\left(\frac{4}{9}\right)^j }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2m}=2\sum_{j=1}^m\left(\frac{4}{9}\right)^j }[/math], ולפי משפט 3.1.9 [math]\displaystyle{ S_{2m}\to2\cdot\frac{4/9}{1-4/9} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{8}{5} }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ S_1=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{2m-1}=S_{2m-2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\ge2 }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ S_{2m-1}\to\frac{8}{5} }[/math]. תתי־הסדרות [math]\displaystyle{ S_{2m-1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{2m} }[/math] מכסות את [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ושתיהן שואפות ל־[math]\displaystyle{ \frac{8}{5} }[/math], ולכן לפי טענה 2.10.11 [math]\displaystyle{ S_n\to\frac{8}{5} }[/math].
מקור: הבוחן של ארז מ־26.12.2016 (Q11, שאלה 2ב, QuitzCalculus12016sol.pdf; שם נשאלה רק שאלת ההתכנסות, והפתרון מציע "לפחות 4 דרכים", ביניהן פיצול לשני טורים הנדסיים ו"האיברים האי־זוגיים מתאפסים, ולכן 2Σ(4/9)^k"; W6c); בוחן Q6b שאלה 3ב (W6c, פתרון: ≤2(2/3)^n); מאגר 3.1-12 (◆, ק' 2, בוחן ✓)
דוגמה 4: טור הנדסי עם פרמטר: מתי מותר להציב בנוסחה?
יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\ne-1 }[/math]. קבעו לאילו ערכים של [math]\displaystyle{ x }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{1+x}\right)^n }[/math] מתכנס, ומצאו את סכומו עבור ערכים אלה.
נסמן [math]\displaystyle{ q=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x} }[/math]. זה טור הנדסי עם המנה [math]\displaystyle{ q }[/math], החל מ־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math], ולכן לפי משפט 3.1.9 (וטענה 3.1.5) הוא מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ |q|<1 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ |1+x|>0 }[/math], התנאי [math]\displaystyle{ |q|<1 }[/math] שקול ל־[math]\displaystyle{ |x|<|1+x| }[/math]. שני האגפים אי־שליליים, והעלאה בריבוע שומרת על אי־שוויון בין מספרים אי־שליליים, ולכן הוא שקול ל־[math]\displaystyle{ x^2<(1+x)^2 }[/math], כלומר ל־[math]\displaystyle{ 0<1+2x }[/math]. לכן הטור מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ x>-\frac{1}{2} }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ 1-q=\frac{1}{1+x} }[/math], ולכן לפי משפט 3.1.9 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty q^n=\frac{q}{1-q} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{x}{1+x}\cdot(1+x)=x }[/math]. המלכודת: הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{q}{1-q} }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne-1 }[/math], אבל עבור [math]\displaystyle{ x\le-\frac{1}{2} }[/math] הטור מתבדר, והביטוי אינו סכומו. למשל עבור [math]\displaystyle{ x=-2 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ q=2 }[/math], הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=2+4+\dots+2^n=2^{n+1}-2 }[/math] שואפים ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] והטור מתבדר, אף ש"הנוסחה" נותנת [math]\displaystyle{ -2 }[/math].
מקור: ש"ב HW-A 7.4 (תשע"א, G5: Σ(1−1/(1+x))^n עבור x>0, תשובה x, "טור הנדסי עם q=x/(1+x)<1"; סומן לבוחן, 3 דק'); מאגר 3.1-13 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). ההרחבה לכל x≠−1 (מתכנס אם ורק אם x>−1/2) ודוגמת המלכודת x=−2 נוספו כאן
טעויות נפוצות
להציב בנוסחה כש [math]\displaystyle{ |x|\ge1 }[/math]: "[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty2^k=\frac{1}{1-2}=-1 }[/math]" שגוי, כי הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=2^n-1 }[/math] שואפים ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]; [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math] הוא סכום הטור רק כש [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math], ולכן קודם בודקים את התנאי ורק אחר כך מציבים.
טעות אינדקס: [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x} }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{x}{1-x} }[/math], ולמשל [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n}=\frac{1}{2} }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \frac{3}{2} }[/math]; סכומו של טור הנדסי שמתחיל ב־[math]\displaystyle{ n=m }[/math] הוא (כש [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]) האיבר הראשון חלקי אחד פחות המנה, [math]\displaystyle{ \frac{x^m}{1-x} }[/math].
לשכוח שהתנאי הוא אי־שוויון ממש: עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=n\to\infty }[/math] (והנוסחה אינה מוגדרת), ועבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] הסכומים החלקיים הם [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math], ולכן "[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty(-1)^k=\frac{1}{2} }[/math]" שגוי (בסרטון, 03:38: "שני גבולות חלקיים שונים ולסדרה אין גבול").
לזהות את המנה לא נכון: לפני שמציבים מביאים את האיבר לצורה [math]\displaystyle{ c\cdot q^n }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ \frac{2^{2n}}{3\cdot7^n}=\frac{1}{3}\left(\frac{4}{7}\right)^n }[/math] (המנה היא [math]\displaystyle{ \frac{4}{7} }[/math], לא [math]\displaystyle{ \frac{2}{7} }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ \frac{5^{1-n}\cdot3^n}{6}=\frac{5}{6}\left(\frac{3}{5}\right)^n }[/math].
לתרגול
מבחן דמה נוסף תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 1א: טור הנדסי עם פרמטר, [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\ln\left(1+\frac{1}{|x|}\right)\right)^n }[/math] (פתרון של ארז)
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 6 (מיטיבה): טלסקופי פחות הנדסי, [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\Big(\frac{4}{(n+5)(n+6)}-\frac{2^{2n}}{3\cdot7^n}\Big) }[/math] (פתרון, תשובה בלבד)
מבחן לדוגמא תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4 (מיטיבה): טלסקופי ועוד הנדסי, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\Big(\frac{2}{(n+2)(n+3)}+\frac{5^{1-n}\cdot3^n}{6}\Big) }[/math] (ללא פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים
הגדרת הטור והתכנסות הטור · "דוגמא חשובה" הראשונה: חישוב [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] דרך הסכומים החלקיים וחלוקה למקרים, ו"שימו לב" על התחלת הספירה ממקום אחר
![הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=1+x+\dots+x^{n-1} }[/math] של הטור ההנדסי. משמאל, [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ x=\frac{2}{3} }[/math] (הנקודות הירוקות) הסכומים החלקיים עולים ושואפים ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=3 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x=-\frac{2}{3} }[/math] (הנקודות התכולות) הם קופצים לסירוגין מעל הגבול [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\frac{3}{5} }[/math] ומתחתיו ושואפים אליו (בשני המקרים [math]\displaystyle{ S_1=1 }[/math]). מימין, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]: הסכומים החלקיים הם [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math]; לסדרה שני גבולות חלקיים, [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הטור מתבדר. הקו האדום הוא הערך [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}=\frac{1}{2} }[/math] שהנוסחה הייתה נותנת: הוא אינו סכום הטור, כי הנוסחה נכונה רק כש [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=n\to\infty }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] אינה חסומה.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-02.png)