בקצרה: טור הוא "סכום של אינסוף מספרים", אבל בפועל אפשר לחבר רק מספר סופי של מחוברים. לכן מחברים את האיברים בזה אחר זה, כמו יתרה בחשבון הבנק שמתעדכנת בכל חודש בהכנסה החודשית, ובודקים אם הסכומים החלקיים מתייצבים: סכום הטור מוגדר כגבול שלהם, [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n\to\infty}S_n }[/math]. כך כל שאלה על טור הופכת לשאלה על סדרה, סדרת הסכומים החלקיים, ואפשר להשתמש בה בכלים של פרק הסדרות. כבר מההגדרה נובע מבחן פשוט: אם האיברים אינם שואפים לאפס, הטור מתבדר; אבל איברים ששואפים לאפס עדיין אינם מבטיחים התכנסות.
▶ ההרצאה: מבוא לטורי מספרים
▶ ההרצאה: סדרת הסכומים החלקיים וטורי מספרים
סדרת הסכומים החלקיים כ"יתרה בבנק", כמו בסרטון (באלפי ש"ח): העמודה במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] היא ההכנסה החודשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. היא מתחילה בגובה [math]\displaystyle{ S_{n-1} }[/math] ומסתיימת בגובה [math]\displaystyle{ S_n=S_{n-1}+a_n }[/math] (הנקודות הירוקות; [math]\displaystyle{ S_0=0 }[/math]). בחודש השלישי ("בלאק פריידיי", העמודה האדומה) [math]\displaystyle{ a_3=-4 }[/math], והיתרה יורדת ל־[math]\displaystyle{ S_3=-1 }[/math]. מהחודש הרביעי [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3}{2^{n-3}} }[/math] (ההמשך נבחר לאיור), ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=2-\frac{3}{2^{n-3}} }[/math], והיתרה מתייצבת: [math]\displaystyle{ S_n\to2 }[/math], כלומר סכום הטור הוא [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הקו המקווקו). אורכי העמודות שואפים לאפס, כפי שמחייב התנאי ההכרחי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] (משפט 3.1.3).
הגדרה 3.1.1סדרת הסכומים החלקיים (סס"ח)▶ סרטון 2:13
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.
סדרת הסכומים החלקיים (סס"ח בקיצור) של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] המוגדרת ע"י:
[math]\displaystyle{ S_1=a_1 }[/math];
לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+a_{n+1} }[/math].
כלומר, לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים
הגדרה 3.1.2טור; סכום טור; טור מתכנס / מתבדר▶ סרטון 4:08
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ותהי [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math] סדרת הסכומים החלקיים שלה.
יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אומרים כי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=L }[/math] (סכום הטור הוא [math]\displaystyle{ L }[/math]) אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}S_n=L }[/math].
אם לסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] יש גבול סופי, אומרים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math]מתכנס.
אם לסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] אין גבול סופי, אומרים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math]מתבדר.
יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb Z }[/math]. לטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=m}^\infty a_k }[/math], שאיבריו [math]\displaystyle{ a_k }[/math] מוגדרים לכל שלם [math]\displaystyle{ k\ge m }[/math], ההגדרות זהות, עם הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=m}^n a_k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\ge m }[/math].
כלומר, כאשר לסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] יש גבול (סופי או אינסופי), מתקיים
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אם ורק אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty a_k }[/math] מתכנס, ובמקרה זה
יהיו [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות ממשיות, ונניח שקיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b_n=a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אם ורק אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס, ובמקרה זה
דוגמה 1: סכום טלסקופי: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots }[/math]
(א) חשבו לפי ההגדרה, כלומר דרך סדרת הסכומים החלקיים, את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots }[/math]. (ב) חשבו את [math]\displaystyle{ \sum_{k=4}^\infty\frac{1}{k(k-1)} }[/math] והשוו לסעיף (א).
(א) לכל [math]\displaystyle{ k\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} }[/math] (בדיקה במכנה משותף: [math]\displaystyle{ \frac{k-(k-1)}{k(k-1)} }[/math]).
לכן לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] הסכום החלקי הוא [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\left(1-\frac{1}{2}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =1-\frac{1}{n} }[/math].
כל המחוברים שבאמצע מצטמצמים, "כמו מקל סלפי", ונשארים רק הראשון והאחרון. כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\to0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math], ולכן הטור מתכנס ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}=1 }[/math].
(ב) כאן הצמצום מתחיל ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{3}-\frac{1}{4} }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\ge4 }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{k=4}^n\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{3}-\frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{1}{3} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=4}^\infty\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{3} }[/math].
השמטנו את שני האיברים הראשונים, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]: הטור עדיין מתכנס, אבל הסכום ירד בדיוק ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3} }[/math]. זה מה שאומרת מסקנה 3.1.6: שינוי מספר סופי של איברים אינו משפיע על ההתכנסות, אבל משפיע על הסכום.
מקור: תמליל 34 (uZHNxYO7S-Q) 00:35–02:19 (https://www.youtube.com/watch?v=uZHNxYO7S-Q&t=35s): "נחשב את סכום התור חצי ועוד שישית ועוד 1 חלקי 12 ועוד 1 חלקי 20", הפירוק 1/(k(k-1))=1/(k-1)-1/k (01:26–01:47), "כל העברים כמו מקל סלפי באמצע מצטמצמים" (01:47), "סך הכל סדרת הסכומים החלקיים שואפת ל-1" (02:07); דף הקורס (ויקי rev 90835) ====טור מקל סלפי (טלסקופי)====; מאגר 3.1-20 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). סעיף (ב): מסקנה 3.1.6 ותמליל 32 (v-qwJWYvuNY) 08:46–08:51 (t=526s): "כאן שינוי מספר סופי של עברים משפיע על סכום".
דוגמה 2: איברים ששואפים לאפס וטור מתבדר: [math]\displaystyle{ \sum\ln\frac{k}{k+1} }[/math]
נתבונן בטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\ln\left(\frac{k}{k+1}\right) }[/math]. (א) חשבו את סדרת הסכומים החלקיים שלו, והסיקו שהטור מתבדר. מהו סכום הטור? (ב) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)\to0 }[/math]. מה מלמדת הדוגמה על התנאי ההכרחי (משפט 3.1.3)?
(א) לפי חוקי הלוגריתם [math]\displaystyle{ \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)=\ln k-\ln(k+1) }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ S_n=(\ln1-\ln2) }[/math] [math]\displaystyle{ +(\ln2-\ln3)+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ +\big(\ln n-\ln(n+1)\big) }[/math] [math]\displaystyle{ =\ln1-\ln(n+1) }[/math] [math]\displaystyle{ =-\ln(n+1) }[/math].
[math]\displaystyle{ \ln(n+1)\to\infty }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>e^M }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n+1>e^M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \ln(n+1)>M }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה ממש).
לכן [math]\displaystyle{ S_n\to-\infty }[/math]. לסס"ח אין גבול סופי, ולכן הטור מתבדר, ולפי הגדרה 3.1.2 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\ln\left(\frac{k}{k+1}\right)=-\infty }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)=-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) }[/math]. לפי משפט 2.9.5 הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{m}\right)^m }[/math] מונוטונית ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math], והיא עולה, כי האיבר הראשון [math]\displaystyle{ 2 }[/math] קטן מהשני [math]\displaystyle{ \frac{9}{4} }[/math].
נקבע [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ m\ge k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{m}\right)^m\ge\left(1+\frac{1}{k}\right)^k }[/math], ולכן מעבר לגבול כאשר [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] (מעבר לגבול באי־שוויון חלש, טענה 2.1.18, החל ממקום מסוים) נותן [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{k}\right)^k\le e }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה, [math]\displaystyle{ k\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln\Big(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\Big) }[/math] [math]\displaystyle{ \le\ln e=1 }[/math].
מכאן [math]\displaystyle{ 0<\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\le\frac{1}{k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] (החיוביות כי [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{k}>1 }[/math]), כלומר [math]\displaystyle{ \left|\ln\left(\frac{k}{k+1}\right)\right|\le\frac{1}{k} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{k}\to0 }[/math], לפי חצי סנדביץ' על הרצפה (מסקנה 2.3.3) [math]\displaystyle{ \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)\to0 }[/math].
המסקנה: האיברים שואפים לאפס, ובכל זאת הטור מתבדר. התנאי [math]\displaystyle{ a_k\to0 }[/math]הכרחי להתכנסות, אבל אינו מספיק (דוגמה מפורסמת נוספת היא הטור ההרמוני, בסעיף 3.3).
מקור: תמליל 34 (uZHNxYO7S-Q) 02:25–03:42 (https://www.youtube.com/watch?v=uZHNxYO7S-Q&t=145s): הסס"ח "מ-ln 1 חלקי 2 עד ln של n חלקי n ועוד 1", "לפי חוקי לנים" (02:47), מצטמצמת ל־−ln(n+1) (03:04–03:21), והגבול מינוס אינסוף (03:26; ב־03:42 התמליל כותב "שווה ל-n סוף", כלומר מינוס אינסוף); דף הקורס ====טור מקל סלפי (טלסקופי)====; מערך תרגול תשע"ב טורים/הגדרה §טורים טלסקופיים (הגרסה ln((n+1)/n) עם S_N=ln(N+1)); מאגר 3.1-20 (◆). סעיף (ב), ההוכחה ש־a_k→0 בלי רציפות של ln (פרק 4), והמסקנה על התנאי ההכרחי (remark_text של 3.1.3: "הכיוון ההפוך שגוי"): ניסוח שלי, על בסיס משפט 2.9.5 ומסקנה 2.3.3.
דוגמה 3: שאלות בוחן ומבחן: התנאי ההכרחי
קבעו אם הטורים מתכנסים, ונמקו. (א) (מועד א' תשע"ז) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right) }[/math]. (ב) (מבחן דמה תשע"ז) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית כלשהי. (ג) (בוחן מדמ"ח תשע"ב) הוכיחו או הפריכו: תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a_n} }[/math] מתבדר.
(א) איבר הטור הוא [math]\displaystyle{ c_n=(-1)^nb_n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ b_n=\sqrt{n^2+n+1}-n }[/math]; כיוון ש [math]\displaystyle{ n^2+n+1>n^2 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ b_n>0 }[/math]. כפל בצמוד, ואז חלוקת המונה והמכנה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math], נותנים [math]\displaystyle{ b_n=\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}\to\frac{1}{2} }[/math], כי השורש שבמכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (טענה 2.8.1 (ד), עם החזקה הקבועה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]), ולפי אריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2).
לכן [math]\displaystyle{ |c_n|=b_n\to\frac{1}{2} }[/math], ולפי יחידות הגבול [math]\displaystyle{ |c_n|\not\to0 }[/math]. לפי מסקנה 2.2.2 גם [math]\displaystyle{ c_n\not\to0 }[/math], ולכן לפי מסקנה 3.1.4 הטור מתבדר.
(ב) לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0 }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^n\ge2^n\ge2 }[/math].
איברי הטור אינם שואפים לאפס: אילו שאפו, עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] היה קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] האיבר קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], בסתירה לכך שהוא לפחות [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. לפי מסקנה 3.1.4 הטור מתבדר, וזאת לכל סדרה חיובית [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
(ג) נכון. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] (משפט 3.1.3). כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], לפי טענה 2.1.10 מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n}=\frac{1}{|a_n|}\to\infty }[/math].
לפי יחידות הגבול (משפט 2.1.11) [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n}\not\to0 }[/math], ולכן לפי מסקנה 3.1.4 הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a_n} }[/math] מתבדר.
מקור: (א) מועד א' 88-132 תשע"ז (ארז), שאלה 2ג, עם הפתרון הרשמי 17Infi1TestASol.pdf (W4a: "|a_n|→1/2≠0: מתבדר"); (ב) מבחן דמה 2 88-132 תשע"ז (ארז; צילום בארכיון, אין פתרון), שאלה 2ג (W4a; התשובה "a_n+1/a_n≥2" של הבנק); (ג) בוחן 2 מדמ"ח תשע"ב (11Infi1CSBohan2.pdf), שאלה 2ג, עם פתרון בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2" ("לכן הסדרה 1/a_n ... אינה שואפת ל-0"); גרסה דומה ב־XI X46 (מאגר 3.1-04, ◆; כאן נמנע הפגם שבמשוב XI, שבו "lim 1/b_n≠0" מניח שהגבול קיים). מאגר 3.1-03 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓ 2–3 דק').
דוגמה 4: שאלת מבחן: חשבון טורים, טלסקופי ועוד הנדסי
(מועד ג' תשפ"א, מדמ"ח) חשבו את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5}{(n+1)(n+2)}-\frac{3^{2n}}{7\cdot10^n}\right) }[/math].
נחשב בנפרד את סכומי שני הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{5}{(n+1)(n+2)} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{3^{2n}}{7\cdot10^n} }[/math]. טענה 3.1.7 מצדיקה פיצול כזה כאשר שני הטורים מתכנסים, ולכן נוכיח שכל אחד מהם מתכנס.
הטור הטלסקופי. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{5}{(n+1)(n+2)} }[/math] [math]\displaystyle{ =5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N\frac{5}{(n+1)(n+2)} }[/math] [math]\displaystyle{ =5\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}\right)\to\frac{5}{2} }[/math].
הטור ההנדסי.[math]\displaystyle{ \frac{3^{2n}}{7\cdot10^n}=\frac{9^n}{7\cdot10^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{7}\left(\frac{9}{10}\right)^n }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ x=\frac{9}{10} }[/math]. לפי נוסחת הסכום של סדרה הנדסית, לכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N x^n=x\cdot\frac{1-x^N}{1-x} }[/math] [math]\displaystyle{ =9\left(1-x^N\right)\to9 }[/math], כי [math]\displaystyle{ x^N\to0 }[/math] (מסקנה 2.6.2 (ב), כאן [math]\displaystyle{ 0<x<1 }[/math]). כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{9}{10}\right)^n=9 }[/math] (מקרה פרטי של משפט 3.1.9 על הטור ההנדסי, בדף הבא). לכן לפי טענה 3.1.7 (א) עם [math]\displaystyle{ c=-\frac{1}{7} }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{3^{2n}}{7\cdot10^n}\right) }[/math] מתכנס וסכומו [math]\displaystyle{ -\frac{9}{7} }[/math].
לכן לפי טענה 3.1.7 (ב) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5}{(n+1)(n+2)}-\frac{3^{2n}}{7\cdot10^n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{5}{2}-\frac{9}{7}=\frac{35-18}{14} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{17}{14} }[/math].
שימו לב: את הפיצול לשני טורים מצדיקה כאן ההתכנסות של שניהם (טענה 3.1.7). לטור מתבדר אין סכום ממשי שאפשר לחבר או לחסר (ראו את הטעות הנפוצה האחרונה).
מקור: מועד ג' תשפ"א (מאי 2021), 89-132 אינפי 1 למדמ"ח (אלעד עטייא וארז שיינר), שאלה מיטיבה 6 (2 נק', "תשובה סופית תספיק"), Infi1moedC2021CS.pdf; לשאלות המיטיבות של המבחן הזה אין פתרון רשמי (בקובץ הפתרון Infi1moedC2021CSSol.pdf אין פתרון למיטיבות; W4b, E7), והתשובה 17/14 חושבה ב־W4b ואומתה כאן. אותה תבנית (טלסקופי ועוד הנדסי) בשאלות המיטיבות של מבחן הדוגמה, מועד א' ומועד ב' תשפ"א; מאגר 3.1-25 (◆, ק' 2, בוחן ✓ 4 דק'). הפירוק הטלסקופי כמו בתמליל 34 (uZHNxYO7S-Q) ובמערך תרגול תשע"ב טורים/הגדרה §טורים טלסקופיים (1/((n+2)(n+4))).
טעויות נפוצות
"אם [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס" שגוי: התנאי הכרחי בלבד, למשל [math]\displaystyle{ \ln\frac{k}{k+1}\to0 }[/math] ובכל זאת [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\ln\frac{k}{k+1}=-\infty }[/math] (דוגמה נוספת: הטור ההרמוני).
לבלבל בין "האיברים שואפים לאפס" לבין "הסכום הוא אפס": בטור מתכנס האיברים שואפים לאפס, אבל הסכום יכול להיות כל מספר ממשי, למשל [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}=1 }[/math] (בסרטון, 5:18: "התור לא חייב להיות 0").
"שינוי מספר סופי של איברים אינו משנה את סכום הטור": בניגוד לגבול של סדרה, הסכום כן משתנה, ורק ההתכנסות נשמרת: [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}=1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ \sum_{k=4}^\infty\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{3} }[/math].
לכפול טורים איבר־איבר: [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3^k}=\frac{1}{2} }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{6^k}=\frac{1}{5}\ne1\cdot\frac{1}{2} }[/math]; טענה 3.1.7 עוסקת רק בכפל בקבוע ובסכום של טורים מתכנסים.
לחשב עם טור מתבדר כאילו הוא מספר: "[math]\displaystyle{ S=1-1+1-\cdots }[/math], נוסיף אפס בהתחלה ונחבר איבר־איבר, ונקבל [math]\displaystyle{ 2S=1 }[/math]" שגוי, כי הסס"ח היא [math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math] והטור מתבדר (אף שהסס"ח חסומה: "מתבדר" פירושו שאין גבול סופי), וטענה 3.1.7 דורשת ששני הטורים מתכנסים (סרטון ההעשרה 54MQXVhM9vU, 0:21–1:51).
לתרגול
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 2ג: [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right) }[/math], תנאי הכרחי, כמו הדוגמה השלישית בדף (פתרון).
מועד ב' תשנ"ט · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\cos\frac{1}{n} }[/math] מתבדר לפי התנאי ההכרחי (עם פתרון; משתמש ב־[math]\displaystyle{ \cos\frac{1}{n}\to1 }[/math], פרק 4).
מועד ב' תשע"א · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \sum(-1)^ne^{1/\log n} }[/math] מתבדר לפי התנאי ההכרחי (עם פתרון).
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 6: [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\left(\frac{4}{(n+5)(n+6)}-\frac{2^{2n}}{3\cdot7^n}\right) }[/math], טלסקופי ועוד הנדסי כמו הדוגמה הרביעית, אבל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math] (פתרון).
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים.
הגדרת הטור והתכנסות הטור · הגדרות, התנאי ההכרחי, ושני תרגילים טלסקופיים עם פתרון: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{(n+2)(n+4)}=\frac{7}{24} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\ln\frac{n+1}{n} }[/math] (מתבדר).
![סדרת הסכומים החלקיים כ"יתרה בבנק", כמו בסרטון (באלפי ש"ח): העמודה במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] היא ההכנסה החודשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. היא מתחילה בגובה [math]\displaystyle{ S_{n-1} }[/math] ומסתיימת בגובה [math]\displaystyle{ S_n=S_{n-1}+a_n }[/math] (הנקודות הירוקות; [math]\displaystyle{ S_0=0 }[/math]). בחודש השלישי ("בלאק פריידיי", העמודה האדומה) [math]\displaystyle{ a_3=-4 }[/math], והיתרה יורדת ל־[math]\displaystyle{ S_3=-1 }[/math]. מהחודש הרביעי [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3}{2^{n-3}} }[/math] (ההמשך נבחר לאיור), ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=2-\frac{3}{2^{n-3}} }[/math], והיתרה מתייצבת: [math]\displaystyle{ S_n\to2 }[/math], כלומר סכום הטור הוא [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (הקו המקווקו). אורכי העמודות שואפים לאפס, כפי שמחייב התנאי ההכרחי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] (משפט 3.1.3).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-01.png)