אינפי 1/התמרת איברים בטור ומשפט רימן
כבר ראינו שקיבוץ איברים בטור זה בעייתי, אבל מה עם חוק החילוף?
נגדיר [math]\displaystyle{ S=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots }[/math], זה מוגדר משום שהטור מתכנס לפי מבחן לייבניץ (לטורים מחליפי סימן). נוכיח בהמשך ש- [math]\displaystyle{ S=\ln 2 }[/math] , אבל לעת עתה ברור ש- [math]\displaystyle{ S>0 }[/math] משום שאפשר לקבץ את האיבר במקום ה- [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] עם האיבר במקום ה- [math]\displaystyle{ 2n+2 }[/math] ולקבל הפרש של 2 שברים מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+2} }[/math] בכל מחובר וכל אחד מהם חיובי אז גם הטור חיובי. נסדר את איברי הטור בצורה שונה:
\begin{displaymjx}S=(1-\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac16-\frac18)+\cdots =\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n})=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n})=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}) = \frac{1}{2} S\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\Rightarrow S=\frac{1}{2} S \Rightarrow S=0\end{displaymjx}
התקבלה סתירה! אם כך, מתי כן אפשר להחליף את איברי הטור בלי לשנות דבר?
נתון טור [math]\displaystyle{ (A) \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] והעתקה [math]\displaystyle{ \sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} }[/math] חח"ע ועל אז הטור [math]\displaystyle{ (A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} }[/math] נקרא תמורה של [math]\displaystyle{ A }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ (A) \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ (A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} }[/math] תמורה על [math]\displaystyle{ A }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \forall n : a_n\geq 0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ A }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ A' }[/math] מתכנס.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ A }[/math] מתכנס ולכן [math]\displaystyle{ \exists C \forall n : \sum_{k=1}^n a_k \leq C }[/math] כעת, ניקח את [math]\displaystyle{ N=\max\{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)\} }[/math] ונראה כי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)} \leq \sum_{k=1}^N an \leq C }[/math] ולכן מתכנס.
באותה דרך מוכיחים ש- [math]\displaystyle{ A'=A }[/math]
∎
יהי [math]\displaystyle{ (A) \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ (A') \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} }[/math] תמורה על [math]\displaystyle{ A }[/math] . אם [math]\displaystyle{ A }[/math] מתכנס בהחלט אז גם [math]\displaystyle{ A' }[/math] מתכנס בהחלט ומתקיים [math]\displaystyle{ A=A' }[/math]
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum a_n^+ - \sum a_n^- }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n^+ }[/math] הם האיברים החיוביים בטור ו- [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] הם הערך המוחלט של האיברים השליליים בטור. שני הטורים מתכנסים (מבחן השוואה ראשון עם הטור המקורי). כעת נסתכל על \begin{displaymjx}\sum a_{\sigma(n))} = \sum a_{\sigma(n)}^+ - \sum a_{\sigma(n)}^-\end{displaymjx} אבל כל טור פה הוא תמורה של אחד הטורים שכתבנו רק לפני רגע ואלה טוריים חיוביים ולכן, לפי טענת העזר, הם שווים. המסקנה היא ש- \begin{displaymjx}\sum a_{\sigma(n)} = \sum a_n^+ -\sum a_n^- = \sum a_n\end{displaymjx}
יהי טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס על תנאי, אזי לכל [math]\displaystyle{ p\in \mathbb{R} }[/math] וגם עבור [math]\displaystyle{ p=\pm \infty }[/math] קיימת תמורה [math]\displaystyle{ \sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)} = p }[/math]
הוכחה.
נראה שאם הטור מתכנס בתנאי אז [math]\displaystyle{ \sum a_n^+ , \sum a_n^- =\infty }[/math] משום שאם שניהם היו מתכנסים אז הטור היה מתכנס בהחלט ואם רק אחד מהם היה מתכנס אז הטור היה מתבדר. כמו כן [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] (כי זה תנאי הכרחי להתכנסות).
כדי שהטור יתכנס ל- [math]\displaystyle{ p }[/math] ממשי, נחבר איברים חיוביים של הטור שוב ושוב עד שנגיע למספר שגדול מ- [math]\displaystyle{ p }[/math], בשלב זה נחסר איברים מ- [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] שוב ושוב עד שנגיע למספר שקטן מ- [math]\displaystyle{ p }[/math], כעת שוב נחזור לחבר ואז כשנעבור את [math]\displaystyle{ p }[/math] נתחיל לחסר... הטור שקיבלנו שואף ל-[math]\displaystyle{ p }[/math] (כי [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] ומאיך שבנינו את הטור) והוא גם תמורה של הטור המקורי. ברור שזה חח"ע אבל מדוע זה על? פשוט מכך שמכל שלב בטור והלאה, אם רק נחבר [math]\displaystyle{ a_n^+ }[/math] או רק נחסר [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] נגיע לאינסוף או מינוס אינסוף בהתאמה. מה אם [math]\displaystyle{ p=\infty }[/math]? נחבר מספיק איברים מ- [math]\displaystyle{ a_n^+ }[/math] עד שנעבור את [math]\displaystyle{ 10 }[/math] ונחסר איבר מ- [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math], ואז נחבר מספיק איברים חיוביים עד שנעבור את ה-[math]\displaystyle{ 100 }[/math] ושוב נחסר [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math], עכשיו נחבר שוב מספיק איברים עד שנעבור את [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] וכו’... באופן דומה ל- [math]\displaystyle{ p=-\infty }[/math]
∎