בקצרה:משפט רימן עוסק בשינוי סדר הסכימה של טור, כלומר בסידור של אותם איברים בדיוק בסדר אחר. בסכום סופי הסדר אינו משנה, אבל סכום של טור הוא גבול של סכומים חלקיים, ולכן שינוי סדר עשוי לשנות אותו. אם הטור מתכנס בהחלט, כל שינוי סדר מתכנס לאותו סכום; ואם הטור מתכנס בתנאי, לפי משפט רימן אפשר לסדר את איבריו מחדש כך שהסכום יהיה כל מספר שנבחר מראש, ואף [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].
שינוי סדר הסכימה
▶ ההרצאה: השפעת שינוי סדר איברי הסדרה על סכום הטור
הדוגמה מהסרטון: אותם איברים בשני סדרים. משמאל הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (עמודות): האיבר [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אחריו 2 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], אחריהם 4 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה. הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] (נקודות ירוקות) מתחלפים בין [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לבין ערכים שקרובים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] יותר ויותר ([math]\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\dots }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math]. מימין שינוי הסדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math]: איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים (הקווים המנוקדים מפרידים בין השלשות). סכום כל שלשה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] חוזרים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] בסוף כל שלשה, ו־[math]\displaystyle{ D_n\to0 }[/math]. בכל צד מוצגים 30 האיברים הראשונים; בסדרה כולה מופיעים בשני הצדדים אותם איברים, כל אחד פעם אחת בדיוק.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ותהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb N\to\mathbb N }[/math] פונקציה הפיכה (חח"ע ועל).
הסדרה [math]\displaystyle{ p_n }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ p_n=a_{f(n)} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נקראת שינוי סדר של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
משפט רימן
▶ ההרצאה: משפט רימן לשינוי סדר סכימת טורים
הסכומים החלקיים של הטור מהסרטון, [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots }[/math] (דוגמה 1). בסדר המקורי ([math]\displaystyle{ S_n }[/math], עיגולים חלולים אפורים) הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. אחרי שינוי הסדר שנבנה לפי הוכחת משפט רימן עם המטרה [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ([math]\displaystyle{ D_n }[/math], עיגולים ירוקים) הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math]: מוסיפים איברים חיוביים עד הפעם הראשונה שעוברים את [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ([math]\displaystyle{ D_9=3.25 }[/math]), אחר כך שליליים עד שחוזרים מתחתיו ([math]\displaystyle{ D_{10}=2.75 }[/math]), וחוזר חלילה. בכל נקודת החלפה המרחק מ־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] הוא לכל היותר גודל האיבר האחרון שנוסף, והאיברים שואפים לאפס, ולכן השטח הכחול, בין [math]\displaystyle{ D_n }[/math] לבין [math]\displaystyle{ \pi }[/math], הולך ומצטמצם (ב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] שתי הסדרות שוות [math]\displaystyle{ 1 }[/math]).
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בתנאי. אזי לכל [math]\displaystyle{ S\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] קיים שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=S }[/math].
שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט
▶ ההרצאה: שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט
שני טורים, ואותו שינוי סדר בדיוק: איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים. בכל חלון העיגולים התכולים הם הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=a_1+\cdots+a_n }[/math] בסדר המקורי, והעיגולים הירוקים הם הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n=p_1+\cdots+p_n }[/math] אחרי שינוי הסדר. משמאל הטור [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots }[/math] מדוגמה 1, שמתכנס בהחלט: שתי הסדרות מתקרבות לאותו סכום, [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} }[/math], כפי שמבטיח המשפט. מימין הטור מהסרטון על השפעת שינוי הסדר ([math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואחריו שני זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], ארבעה זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה), שמתכנס רק בתנאי: [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ D_n\to0 }[/math] (הקו האדום). ההבדל הוא בדיוק ההנחה של המשפט: משמאל טור הערכים המוחלטים מתכנס (סכומו [math]\displaystyle{ 2 }[/math]), ומימין הוא מתבדר.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט, ויהי [math]\displaystyle{ S=\sum_{k=1}^\infty a_k }[/math]. אזי לכל שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתכנס ומתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=S }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: האם זה שינוי סדר? (בסגנון בוחן)
תהי [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2^n} }[/math]; לפי הטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=1 }[/math]. לכל אחת מהפונקציות [math]\displaystyle{ f:\mathbb N\to\mathbb N }[/math] הבאות קבעו אם הסדרה [math]\displaystyle{ p_n=a_{f(n)} }[/math] היא שינוי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], וחשבו את [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math]. (א) [math]\displaystyle{ f(n)=n+1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי, ו־[math]\displaystyle{ f(n)=n-1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי. (ב) [math]\displaystyle{ f(n)=n+1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. (ג) [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n+1}{2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי, ו־[math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי.
(א) [math]\displaystyle{ p_n=a_2,a_1,a_4,a_3,\dots }[/math]: הפונקציה מחליפה כל זוג מקומות [math]\displaystyle{ 2m-1,2m }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(f(n))=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה (ההפכית שלה היא [math]\displaystyle{ f }[/math] עצמה), ו־[math]\displaystyle{ p_n }[/math] היא שינוי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ S_N=\sum_{k=1}^N a_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ D_N=\sum_{k=1}^N p_k }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ D_{2m} }[/math] מופיעים בדיוק [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_{2m} }[/math], ובסכום סופי הסדר אינו משנה, ולכן [math]\displaystyle{ D_{2m}=S_{2m}\to1 }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ D_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m-1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2m-1}\to0 }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ D_{2m-1}\to1 }[/math]. שתי תתי־הסדרות מכסות את [math]\displaystyle{ D_N }[/math], ולכן לפי טענה 2.10.11 [math]\displaystyle{ D_N\to1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=1 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ p_n=a_{n+1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_2,a_3,a_4,\dots }[/math]. הפונקציה חח"ע, אבל אינה על: אין [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(n)=1 }[/math], ולכן האיבר [math]\displaystyle{ a_1=\frac{1}{2} }[/math] נעלם. זה אינו שינוי סדר, ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{2^k} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2} }[/math] (טור הנדסי).
(ג) [math]\displaystyle{ p_n=a_1,a_1,a_2,a_2,a_3,a_3,\dots }[/math]. הפונקציה על ([math]\displaystyle{ f(2m)=m }[/math]), אבל אינה חח"ע ([math]\displaystyle{ f(1)=f(2)=1 }[/math]), ולכן כל איבר מוכפל. זה אינו שינוי סדר. כאן [math]\displaystyle{ D_{2N}=2S_N\to2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ D_{2N-1}=2S_N-a_N\to2 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ a_N\to0 }[/math]), ולכן לפי טענה 2.10.11 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=2 }[/math].
המסקנה: ב־(ב) וב־(ג) הסכום השתנה כי איברים נעלמו או הוכפלו, לא בגלל הסדר. ב־(א), שבו יש שינוי סדר אמיתי, הסכום לא השתנה, כפי שמבטיח משפט 3.6.3 לטור מתכנס בהחלט.
מקור: remark_text של הגדרה 3.6.1 ("טעויות: לדרוש רק חח"ע או רק על"); מחברת ההרצאות של ארז תשע"ז עמ' 62 (G2-08, בתיבה ליד ההגדרה: "חח"ע → כל איבר יופיע פעם אחת לכל היותר; על → כולם יופיעו"); תמליל 45 (ASXMi-rBCv0) 04:34–04:46 (https://www.youtube.com/watch?v=ASXMi-rBCv0&t=274s): "לכל מקום בסדרה המקורית מתאים מקום אחד ויחיד בסדרה החדשה, כלומר אנחנו מסדרים בדיוק את אותם האיברים רק בסדר אחר". הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^n} }[/math] ושלוש הפונקציות שלי.
דוגמה 2: הדוגמה מהסרטון: אותם איברים, סכום 1 וסכום 0
נתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שאיבריה הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אחריו 2 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], אחריהם 4 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math], אחריהם 8 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{8},\frac{1}{8} }[/math] וכן הלאה (לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2^k},\frac{1}{2^k} }[/math]): [math]\displaystyle{ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}, }[/math] [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4},\dots }[/math] (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=1 }[/math]. (ב) נסדר את אותם איברים כך: איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים, [math]\displaystyle{ 1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}, }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}, }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{4},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},\dots }[/math] ונסמן את הסדרה המתקבלת ב־[math]\displaystyle{ p_n }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ p_n }[/math] היא שינוי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ושמתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=0 }[/math]. (ג) מדוע אין כאן סתירה לחוק החילוף?
סימון. נסמן ב־[math]\displaystyle{ c_t }[/math] את האיבר החיובי ה־[math]\displaystyle{ t }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: [math]\displaystyle{ c_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_2=c_3=\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ c_4=\dots=c_7=\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה, כלומר [math]\displaystyle{ c_t=\frac{1}{2^k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 2^k\le t<2^{k+1} }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ c_t<\frac{2}{t} }[/math]. בכל זוג השלילי בא לפני החיובי שווה הגודל, ולכן לכל [math]\displaystyle{ t\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{2t-1}=c_t }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2t}=-c_{t+1} }[/math].
(א) נסמן [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ t\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2t-1}=1 }[/math], כי אחרי האיבר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כל זוג [math]\displaystyle{ -c_{j+1},c_{j+1} }[/math] מוסיף [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ S_{2t}=1-c_{t+1} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0\le1-S_n<\frac{4}{n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=2t }[/math]: [math]\displaystyle{ c_{t+1}<\frac{2}{t+1}<\frac{4}{n} }[/math]), ולפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math].
(ב) השלשה ה־[math]\displaystyle{ t }[/math] של [math]\displaystyle{ p_n }[/math] היא האיבר החיובי ה־[math]\displaystyle{ t }[/math] ואחריו השלילי ה־[math]\displaystyle{ (2t-1) }[/math] והשלילי ה־[math]\displaystyle{ 2t }[/math]. השלילי ה־[math]\displaystyle{ s }[/math] הוא [math]\displaystyle{ a_{2s} }[/math], ולכן השלשה היא [math]\displaystyle{ a_{2t-1} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{4t-2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{4t} }[/math]. מכאן ש [math]\displaystyle{ p_n=a_{f(n)} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ f(3t-2)=2t-1, }[/math][math]\displaystyle{ f(3t-1)=4t-2, }[/math] [math]\displaystyle{ f(3t)=4t }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה: [math]\displaystyle{ 2t-1 }[/math] עובר על כל המספרים האי־זוגיים, ו־[math]\displaystyle{ 4t-2 }[/math], [math]\displaystyle{ 4t }[/math] עוברים על כל הזוגיים, כל מספר פעם אחת. כלומר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] היא שינוי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
אם [math]\displaystyle{ 2^k\le t<2^{k+1} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ 2^{k+1}\le2t }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2t+1<2^{k+2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ t\le2^{k+1}-1 }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ c_{2t}=c_{2t+1}=\frac{c_t}{2} }[/math]: "כל פעם כמות האיברים בגודל הבא גדלה פי 2". כיוון ש [math]\displaystyle{ a_{2s}=-c_{s+1} }[/math], השלשה ה־[math]\displaystyle{ t }[/math] היא [math]\displaystyle{ a_{2t-1}=c_t }[/math], [math]\displaystyle{ a_{4t-2}=-c_{2t} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{4t}=-c_{2t+1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ c_t,-\frac{c_t}{2},-\frac{c_t}{2} }[/math], וסכומה [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ D_n=\sum_{k=1}^n p_k }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ D_{3t}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ D_{3t-2}=c_t }[/math] ו־[math]\displaystyle{ D_{3t-1}=\frac{c_t}{2} }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\{3t-2,3t-1,3t\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le D_n\le c_t }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac{2}{t}\le\frac{6}{n} }[/math]. לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ D_n\to0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=0 }[/math].
(ג) אין כאן סתירה לחוק החילוף: שינוי הסדר אינו מחליף את סדר המחוברים בתוך סכום סופי, אלא משנה אילו מחוברים נכנסים לכל סכום חלקי (ב־[math]\displaystyle{ D_{3t} }[/math] יש [math]\displaystyle{ t }[/math] חיוביים ו־[math]\displaystyle{ 2t }[/math] שליליים, ובכל [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מספרם כמעט שווה). זה אפשרי כי הטור מתכנס בתנאי: לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] האיברים החיוביים ששווים ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^k} }[/math] תורמים יחד [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum|a_k|=\infty }[/math]; בטור מתכנס בהחלט זה לא היה קורה (משפט 3.6.3).
מקור: תמליל 45 (ASXMi-rBCv0) 00:11–03:35 (https://www.youtube.com/watch?v=ASXMi-rBCv0&t=11s): הסדרה "1 ואז מינוס חצי חצי, מינוס חצי חצי ... כך ארבעה זוגות של מינוס רבע רבע" (00:11–00:31), הסכומים החלקיים "1, חצי, 1 ... 7 שמיניות" ו"קל לראות שסכום האיברים הולך ושואף לאחד" (00:43–01:19; ב־01:03 התמלול "3.5" הוא שלושה רבעים), שינוי הסדר "ניקח מספר חיובי ולאחריו שני השלילים הבאים" (01:45, https://www.youtube.com/watch?v=ASXMi-rBCv0&t=105s), "זה מסתדר מושלם כי כל פעם כמות האיברים בגודל הבא גדלה פי 2" (02:20), "חצי, רבע, 0 ... הסכום שואף ל־0" (03:11–03:27); לוח ההרצאה 15.12.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R2-3.19 / R2-E42: אותה דוגמה, הסכומים לא נכתבו); מאגר 3.5-02 (◆, ק' 3). הסימון [math]\displaystyle{ c_t }[/math], הנוסחה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] והחסמים [math]\displaystyle{ \frac{4}{n} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{6}{n} }[/math] שלי.
דוגמה 3: הדוגמה מהסרטון: לסדר מחדש כך שהסכום יהיה [math]\displaystyle{ \pi }[/math]
נתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מהסרטון: [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואחריו שני זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], ארבעה זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math], שמונה זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{8},\frac{1}{8} }[/math], ובאופן כללי, לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ 2^m }[/math] זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m} }[/math]. כלומר הטור הוא [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\cdots }[/math]. (א) הוכיחו שהטור מתכנס בתנאי, וסכומו [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. (ב) בנו לפי ההוכחה של משפט רימן את תחילת שינוי הסדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] שסכומו [math]\displaystyle{ \pi }[/math]: מצאו את [math]\displaystyle{ p_1,\dots,p_{21} }[/math] ואת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n=\sum_{k=1}^n p_k }[/math] בנקודות שבהן מחליפים כיוון. (ג) הסבירו מדוע אפשר להמשיך כך לנצח, מדוע מתקבל שינוי סדר, ומדוע [math]\displaystyle{ D_n\to\pi }[/math].
(א) נסמן [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math]. אחרי כל איבר חיובי [math]\displaystyle{ S_n=1 }[/math], ואחרי איבר שלילי [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2^m} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=1-\frac{1}{2^m} }[/math]; לכן [math]\displaystyle{ |S_n-1|\le|a_n| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] יש רק מספר סופי של איברים שגודלם לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^m} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], ולפי חצי סנדביץ' על הרצפה [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math]. מצד שני, סכום הערכים המוחלטים של [math]\displaystyle{ 2^m }[/math] הזוגות [math]\displaystyle{ \pm\frac{1}{2^m} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 2^m\cdot\frac{2}{2^m}=2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k|=\infty }[/math]. הטור מתכנס בתנאי, ומשפט רימן חל עליו.
(ב) האיברים החיוביים לפי הסדר: [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], ארבע פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math], שמונה פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math], שש־עשרה פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{16} }[/math] וכן הלאה; השליליים: [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},-\frac{1}{2} }[/math], ארבע פעמים [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה.
חיוביים עד הפעם הראשונה שעוברים את [math]\displaystyle{ \pi }[/math]: [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4}=3 }[/math], ועוד [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] נותן [math]\displaystyle{ D_8=3.125<\pi }[/math], ועוד [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] נותן [math]\displaystyle{ D_9=3.25>\pi }[/math].
שליליים עד שחוזרים מתחת ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] (כאן מספיק איבר אחד): [math]\displaystyle{ D_{10}=3.25-\frac{1}{2}=2.75 }[/math]. חיוביים: ארבע פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] (אחרי שלוש בלבד הסכום [math]\displaystyle{ 3.125<\pi }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ D_{14}=3.25 }[/math]; שלילי: [math]\displaystyle{ D_{15}=2.75 }[/math].
חיוביים: שתי השמיניות שנותרו ושלוש פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{16} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ D_{20}=3.1875>\pi }[/math] (אחרי שתיים בלבד הסכום [math]\displaystyle{ 3.125<\pi }[/math]); שלילי: [math]\displaystyle{ D_{21}=3.1875-\frac{1}{4} }[/math] [math]\displaystyle{ =2.9375<\pi }[/math].
כלומר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] הוא: תשעה איברים חיוביים, [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math], ארבעה חיוביים, [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math], חמישה חיוביים, [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math], וכן הלאה.
(ג) האיברים החיוביים הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובלוקים של [math]\displaystyle{ 2^m }[/math] פעמים [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^m} }[/math], שסכום כל אחד מהם [math]\displaystyle{ 1 }[/math]; לכן סכומם [math]\displaystyle{ \infty }[/math], וכך גם אחרי השמטת מספר סופי מהם; ואותו הדבר נכון לשליליים. לכן בכל סבב עוברים את [math]\displaystyle{ \pi }[/math] אחרי מספר סופי של צעדים. בכל סבב חיובי נוסף לפחות איבר חיובי אחד ובכל סבב שלילי לפחות איבר שלילי אחד, תמיד הבאים בתור; לכן כל איבר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מופיע בדיוק פעם אחת, כלומר זה שינוי סדר.
כשעוברים את [math]\displaystyle{ \pi }[/math] כלפי מעלה, לפני האיבר האחרון היינו מתחת ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math], ולכן חרגנו לכל היותר בגודל האיבר האחרון ([math]\displaystyle{ 3.25-\pi<\frac{1}{8} }[/math]); כשחוזרים מתחת, חרגנו לכל היותר בגודל האיבר השלילי האחרון ([math]\displaystyle{ \pi-2.75<\frac{1}{2} }[/math]).
בין שתי נקודות החלפה הסכומים החלקיים נעים בכיוון אחד, ולכן הם נשארים בין הערכים שבנקודות ההחלפה. האיברים שבנקודות ההחלפה מתקדמים בסדרה ושואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ D_n\to\pi }[/math] (בסרטון: "לא יותר מהצעד האחרון").
מקור: תמליל 46 (e_tBsPs5vq4) 02:32–06:55 (https://www.youtube.com/watch?v=e_tBsPs5vq4&t=152s): הסדרה "אחד, ואז מינוס חצי חצי, מינוס חצי חצי, שני זוגות כאלה" (02:42), "אני רוצה לגרום לתור הזה להתכנס לפאי" (03:43), הסכומים 3, 3.125, 3.25 (04:13–04:28), "מי מבטיח לי..." (04:39), 2.75 (05:45), "לא יותר משמינית, לא יותר מהצעד האחרון" (06:21); הסדרה וסכומה 1 בתמליל 45 (ASXMi-rBCv0) 00:11–01:19; מאגר 3.5-02 (◆, "סידור של הטור כך שיתכנס ל-π", V46 03:28–04:37); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 63–64 (G2-12: אותה שיטה, סידור של Σ(−1)^n/n לסכום 1)
דוגמה 4: שאלת בוחן: אפשר לסדר מחדש לסכום [math]\displaystyle{ -5 }[/math]?
קבעו לכל אחד מהטורים הבאים אם קיים שינוי סדר של איבריו שסכומו [math]\displaystyle{ -5 }[/math], ונמקו. (א) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n\cos(n!)}{3^n} }[/math]. (ב) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(n\pi)}{\ln(n+1)} }[/math]. (ג) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\,n! }[/math].
(א) לא. נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n\cos(n!)}{3^n} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n<2^n }[/math] (באינדוקציה), ולכן [math]\displaystyle{ |a_n|\le\frac{n}{3^n}<\left(\frac{2}{3}\right)^n }[/math].
הטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n=2 }[/math] מתכנס, ולכן לפי מבחן ההשוואה הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty|a_n| }[/math] מתכנס, ולפי משפט 3.2.1 הטור מתכנס בהחלט. לפי משפט 3.6.3 כל שינוי סדר שלו מתכנס לאותו סכום [math]\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math], ולפי אי־שוויון המשולש לטורים (משפט 3.2.3) [math]\displaystyle{ |S|\le\sum_{n=1}^\infty|a_n|\le2 }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ S\ne-5 }[/math], ולכן אין שינוי סדר שסכומו [math]\displaystyle{ -5 }[/math].
(ב) כן.[math]\displaystyle{ \cos(n\pi)=(-1)^n }[/math], כלומר הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)} }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n+1)} }[/math] חיובית, מונוטונית יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln(n+1) }[/math] חיובית, עולה ושואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]), ולכן לפי מבחן לייבניץ (וכפל בקבוע [math]\displaystyle{ -1 }[/math]) הטור מתכנס.
הוא אינו מתכנס בהחלט: לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e^k>2^k>k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \ln k<k }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n+1)}>\frac{1}{n+1} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1} }[/math] מתבדר (הטור ההרמוני בלי האיבר הראשון), ולפי מבחן ההשוואה גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\ln(n+1)}=\infty }[/math].
לכן הטור מתכנס בתנאי, ולפי משפט רימן עם [math]\displaystyle{ S=-5 }[/math] קיים שינוי סדר שסכומו [math]\displaystyle{ -5 }[/math].
(ג) לא. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |(-1)^n\,n!|=n!\ge1 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ p_n }[/math] שינוי סדר כלשהו, כל איבר שלו הוא אחד מאיברי הסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ |p_n|\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p_n\not\to0 }[/math], ולפי מסקנה 3.1.4 הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתבדר. משפט רימן אינו חל כאן: הטור המקורי אינו מתכנס כלל.
הלקח: בטור שמתכנס בהחלט כל שינוי סדר נותן אותו סכום; בטור שמתכנס בתנאי אפשר לקבל כל סכום; וכשהאיברים אינם שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], אף שינוי סדר אינו מתכנס.
מקור: חוברת התרגילים של בועז צבאן, שאלה 5.10 (עמ' 22; G7 TB 5.10: "האם אפשר לסדר מחדש כך שהסכום יהיה −5?", התשובות לא / כן / לא; שם החסם |S|≤3/4, כאן החסם הפשוט 2 דרך n<2^n); מאגר 3.5-03 (יישומי רימן, בוחן ✓ ל־TB 5.10); טיוטת "מבחנים לפי נושא", סעיף 3.5 (הפריט הראשון של "יישומי רימן")
דוגמה 5: שאלת מבחן: הוכיחו או הפריכו
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. הוכיחו או הפריכו: (א) (מועד ב' תשס"ג, שאלה 4) אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=0 }[/math] וקיים שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=1 }[/math], אזי קיים שינוי סדר [math]\displaystyle{ q_n }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty q_k=-10 }[/math]. (ב) אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס, ולכל שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתכנס, אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט.
(א) נכון. הטור מתכנס (לסכום [math]\displaystyle{ 0 }[/math]). נב"ש שהוא מתכנס בהחלט. אזי לפי משפט 3.6.3 כל שינוי סדר שלו מתכנס לאותו סכום [math]\displaystyle{ 0 }[/math], בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=1 }[/math].
לכן הטור מתכנס ואינו מתכנס בהחלט, כלומר הוא מתכנס בתנאי, ולפי משפט רימן עם [math]\displaystyle{ S=-10 }[/math] קיים שינוי סדר [math]\displaystyle{ q_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty q_k=-10 }[/math].
(ב) נכון. נב"ש שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] אינו מתכנס בהחלט. הוא מתכנס, ולכן הוא מתכנס בתנאי, ולפי משפט רימן עם [math]\displaystyle{ S=\infty }[/math] קיים שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=\infty }[/math].
טור שסכומו [math]\displaystyle{ \infty }[/math] אינו מתכנס (התכנסות פירושה גבול סופי של הסכומים החלקיים), בסתירה לנתון שכל שינוי סדר מתכנס.
שימו לב: בסעיף (ב) המקרה [math]\displaystyle{ S=\infty }[/math] של משפט רימן חיוני. שינוי סדר שמתכנס לסכום סופי אחר לא היה נותן סתירה, כי לא נתון שכל שינויי הסדר מתכנסים לאותו סכום.
יחד עם משפט 3.6.3 קיבלנו אפיון: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל שינוי סדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתכנס (ההנחה בסעיף (ב) שהטור עצמו מתכנס נובעת מכך, כי [math]\displaystyle{ p_n=a_n }[/math] הוא שינוי סדר).
מקור: (א) מועד ב' תשס"ג (2.5.03, 88-132; אגרנובסקי, דונין, הורוביץ, ינץ, זלצמן), חלק א' (נכון/לא נכון), שאלה 4 (G4-SGB-4, תשובה: נכון; W5b Q055/T28: פתרון סטודנטים בדף הוויקי "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,", באותו נימוק); (ב) מאגר 3.5-03 ("רימן ל-±∞"); remark_text של משפט 3.6.2 ("לשכוח S=±∞"); תמליל 45 (ASXMi-rBCv0) 04:50–05:48, שני המשפטים על שינוי סדר זה לצד זה
דוגמה 6: אותו סידור כמו בסרטון, הפעם בטור מתכנס בהחלט
נתבונן בטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots }[/math]. (א) הוכיחו שהטור מתכנס בהחלט, ומצאו את סכומו. (ב) נסדר מחדש את איבריו כמו בסרטון "השפעת שינוי סדר איברי הסדרה על סכום הטור": איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים, כלומר [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{8} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{4}-\frac{1}{32}-\frac{1}{128} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{16}-\cdots }[/math] הראו שזהו שינוי סדר של הסדרה, ומצאו את סכום הטור החדש. (ג) בסרטון, אותו סידור בדיוק שינה את סכום הטור שאיבריו [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואחריו שני זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], ארבעה זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה, מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. מדוע כאן הסכום אינו משתנה?
(א) לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\right|=\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} }[/math], ולכן טור הערכים המוחלטים הוא טור הנדסי עם המנה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] (משפט 3.1.9): [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^k }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 }[/math]. גם הטור עצמו הנדסי, עם המנה [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \left|-\frac{1}{2}\right|<1 }[/math], ולכן הוא מתכנס, ובאותה הזזת אינדקס [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3} }[/math]. שני הטורים מתכנסים, ולכן הטור מתכנס בהחלט (הגדרה 3.2.2).
(ב) נסמן [math]\displaystyle{ a_k=\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} }[/math]. האיברים החיוביים הם [math]\displaystyle{ a_1,a_3,a_5,\dots }[/math] והשליליים הם [math]\displaystyle{ a_2,a_4,a_6,\dots }[/math]. בשלשה ה־[math]\displaystyle{ m }[/math]־ית של הסדר החדש עומדים החיובי ה־[math]\displaystyle{ m }[/math]־י, [math]\displaystyle{ a_{2m-1} }[/math], ואחריו השלילי מספר [math]\displaystyle{ 2m-1 }[/math] והשלילי מספר [math]\displaystyle{ 2m }[/math]; השלילי מספר [math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ a_{2j} }[/math], ולכן אלה [math]\displaystyle{ a_{4m-2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{4m} }[/math]. לכן הסדר החדש הוא [math]\displaystyle{ p_n=a_{f(n)} }[/math], כאשר לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]: [math]\displaystyle{ f(3m-2)=2m-1 }[/math], [math]\displaystyle{ f(3m-1)=4m-2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(3m)=4m }[/math] (כל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] הוא מאחת הצורות האלה, עם [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] יחיד).
[math]\displaystyle{ f:\mathbb N\to\mathbb N }[/math] הפיכה: כל מספר אי־זוגי מתקבל פעם אחת בדיוק (כ־[math]\displaystyle{ 2m-1 }[/math]), כל מספר זוגי שאינו מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 4 }[/math] פעם אחת בדיוק (כ־[math]\displaystyle{ 4m-2 }[/math]), וכל מספר שמתחלק ב־[math]\displaystyle{ 4 }[/math] פעם אחת בדיוק (כ־[math]\displaystyle{ 4m }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ p_n }[/math] היא שינוי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (הגדרה 3.6.1).
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט, ולכן לפי משפט 3.6.3 הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתכנס ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=\frac{2}{3} }[/math].
(ג) הטור מהסרטון מתכנס ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל רק בתנאי: בטור הערכים המוחלטים שלו יש [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואחריו ארבעה איברים [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] (סכומם [math]\displaystyle{ 2 }[/math]), שמונה איברים [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] (סכומם [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) וכן הלאה, ולכן הסכומים החלקיים שלו אינם חסומים והוא מתבדר. משפט 3.6.3 אינו חל עליו, ולפי משפט רימן שינוי סדר יכול לשנות את סכומו. כאן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k|=2 }[/math], והמשפט מבטיח שאף שינוי סדר לא ישנה את הסכום.
מקור: הסידור "איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים" לקוח מתמליל 45 (ASXMi-rBCv0) 01:24–03:35 (https://www.youtube.com/watch?v=ASXMi-rBCv0&t=84s): "ניקח מספר חיובי ולאחריו שני השלילים הבאים" (01:45), "סכום כל האיברים בסדרה המקורית היה 1 ... הפך להיות 0" (03:28–03:35); אותה דוגמה בלוח ההרצאה 15.12.20, מדמ"ח תשפ"א (R2-3.19, R2-E42; מאגר 3.5-02, ◆). הטור ההנדסי (−1/2)^{k−1} נבחר כאן כדי להראות שאותו סידור בטור מתכנס בהחלט אינו משנה את הסכום, כמו שנאמר בתמליל 47 (GG76LdzRvKo) 00:00–00:20 (https://www.youtube.com/watch?v=GG76LdzRvKo&t=0s).
דוגמה 7: בסגנון בוחן: סכום ידוע אחרי שינוי סדר
נתון (אין צורך להוכיח) ש־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}=\frac{\pi^2}{12} }[/math] וש־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln2 }[/math]. בכל אחד משני הטורים נסדר את האיברים מחדש כך: שני החיוביים הבאים ואחריהם השלילי הבא, כל סוג לפי הסדר המקורי. (א) מצאו את סכום הטור [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{2^2} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots }[/math] (ב) האם סכום הטור [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ln2 }[/math]? נמקו.
נסמן [math]\displaystyle{ a_k=\frac{(-1)^{k+1}}{k^2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_k=\frac{(-1)^{k+1}}{k} }[/math]. בשתי הסדרות החיובי מספר [math]\displaystyle{ j }[/math] נמצא במקום [math]\displaystyle{ 2j-1 }[/math], והשלילי מספר [math]\displaystyle{ j }[/math] במקום [math]\displaystyle{ 2j }[/math]. בשלשה ה־[math]\displaystyle{ m }[/math]־ית של הסדר החדש עומדים החיובי מספר [math]\displaystyle{ 2m-1 }[/math] (במקום [math]\displaystyle{ 4m-3 }[/math]), החיובי מספר [math]\displaystyle{ 2m }[/math] (במקום [math]\displaystyle{ 4m-1 }[/math]) והשלילי מספר [math]\displaystyle{ m }[/math] (במקום [math]\displaystyle{ 2m }[/math]). לכן הטורים החדשים הם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty q_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ p_n=a_{f(n)} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q_n=b_{f(n)} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]: [math]\displaystyle{ f(3m-2)=4m-3 }[/math], [math]\displaystyle{ f(3m-1)=4m-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(3m)=2m }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(n)=1,3,2,5,7,4,\dots }[/math].
[math]\displaystyle{ f:\mathbb N\to\mathbb N }[/math] הפיכה: כל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] הוא מאחת הצורות [math]\displaystyle{ 3m-2 }[/math], [math]\displaystyle{ 3m-1 }[/math], [math]\displaystyle{ 3m }[/math] עם [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] יחיד, וכל מספר טבעי מתקבל פעם אחת בדיוק: אי־זוגי שנותן שארית [math]\displaystyle{ 1 }[/math] בחלוקה ב־[math]\displaystyle{ 4 }[/math] כ־[math]\displaystyle{ 4m-3 }[/math], אי־זוגי שנותן שארית [math]\displaystyle{ 3 }[/math] כ־[math]\displaystyle{ 4m-1 }[/math], וזוגי כ־[math]\displaystyle{ 2m }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ p_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q_n }[/math] הן שינויי סדר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ושל [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (הגדרה 3.6.1).
(א) לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_k|=\frac{1}{k^2} }[/math], והטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} }[/math] מתכנס לפי משפט 3.3.11 (הטור ההרמוני המוכלל, עם המעריך [math]\displaystyle{ 2>1 }[/math]). גם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס (נתון), ולכן הוא מתכנס בהחלט (הגדרה 3.2.2). לפי משפט 3.6.3 הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k }[/math] מתכנס ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty p_k=\frac{\pi^2}{12} }[/math].
(ב) לא. כאן אי אפשר להשתמש במשפט 3.6.3: [math]\displaystyle{ |b_k|=\frac{1}{k} }[/math], והטור ההרמוני מתבדר (משפט 3.3.3), ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty b_k }[/math] מתכנס רק בתנאי. נראה שהסכום אכן משתנה. נסמן [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n b_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ D_n=\sum_{k=1}^n q_k }[/math].
חסם ל־[math]\displaystyle{ \ln2 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2m+1}-S_{2m-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m}<0 }[/math], ולכן הסדרה [math]\displaystyle{ S_{2m-1} }[/math] יורדת, ולכל [math]\displaystyle{ m\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2m-1}\le S_5 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ S_5=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{47}{60} }[/math]. לפי הנתון [math]\displaystyle{ S_n\to\ln2 }[/math], ולכן גם תת־הסדרה [math]\displaystyle{ S_{2m-1} }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ \ln2 }[/math], ובמעבר לגבול [math]\displaystyle{ \ln2\le\frac{47}{60} }[/math].
סכום השלשה ה־[math]\displaystyle{ m }[/math]־ית בטור המסודר הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{4m-3}+\frac{1}{4m-1}-\frac{1}{2m} }[/math], והוא חיובי לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{1}{4m-3}>\frac{1}{4m} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{4m-1}>\frac{1}{4m} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{4m-3}+\frac{1}{4m-1}>\frac{2}{4m} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2m} }[/math]. לכן הסדרה [math]\displaystyle{ D_{3m} }[/math] (סכום [math]\displaystyle{ m }[/math] השלשות הראשונות) מונוטונית עולה, ולכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ D_{3m}\ge D_3 }[/math] [math]\displaystyle{ =1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6} }[/math].
נב"ש ש־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty q_k=\ln2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ D_n\to\ln2 }[/math]. אז גם תת־הסדרה [math]\displaystyle{ D_{3m} }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ \ln2 }[/math], ובמעבר לגבול [math]\displaystyle{ \ln2\ge\frac{5}{6} }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \ln2\le\frac{47}{60}<\frac{5}{6} }[/math], סתירה. לכן סכום הטור המסודר אינו [math]\displaystyle{ \ln2 }[/math] (למעשה הוא מתכנס, וסכומו [math]\displaystyle{ \frac{3}{2}\ln2 }[/math]; לא נוכיח זאת כאן).
המסקנה: אותו שינוי סדר בדיוק שמר על סכום הטור המתכנס בהחלט ושינה את סכום הטור שמתכנס בתנאי. סכום ידוע מעבירים לטור המסודר רק אחרי שבודקים ש־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס.
מקור: דוגמה שלי, בסגנון שאלות הבוחן על שינוי סדר במאגר 3.5-03 ("מה מותר להסיק"). שאלת צבאן 5.10(א) (Σ n cos(n!)/3^n, "האם אפשר לסדר מחדש לסכום −5"), שהייתה כאן קודם, נשארה כדוגמה 7(א) בדף משפט רימן (c3-12), ובמאגר לא נמצאה שאלה אחרת על משפט 3.6.3 שאינה בשימוש בדפים המקבילים. הסידור f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,… הוא הסידור מהדוגמה 6,−1,1,−1,… בדף הקורס (rev 90835, סעיף "שינוי סדר הסכימה"; שם הוא הופך סס"ח חסומה לשואפת לאינסוף). הערכים π²/12 ו־ln 2 נתונים בשאלה ואינם מוכחים בקורס; הסכום (3/2)·ln 2 של הטור המסודר בסעיף (ב) הוא תוצאה ידועה שאינה מוכחת כאן. החסמים D_{3m} ≥ 5/6 ו־ln 2 ≤ 47/60 שלי.
טעויות נפוצות
לדרוש רק חח"ע או רק על: ההגדרה דורשת את שניהם. בלי "על" איברים נעלמים ([math]\displaystyle{ f(n)=n+1 }[/math] נותנת [math]\displaystyle{ a_2,a_3,\dots }[/math] בלי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]), ובלי חח"ע איברים מוכפלים ([math]\displaystyle{ a_1,a_1,a_2,a_2,\dots }[/math]); בשני המקרים זה אינו שינוי סדר, והסכום משתנה מסיבה אחרת לגמרי (דוגמה 1).
לחשוב ששינוי סדר אינו יכול לשנות את סכום הטור "כי חיבור הוא חילופי": חוק החילוף נכון לסכום סופי, וסכום הטור הוא גבול של סכומים חלקיים, ששינוי הסדר משנה; בדוגמה מהסרטון אותם איברים נותנים סכום [math]\displaystyle{ 1 }[/math] בסדר אחד וסכום [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בסדר אחר. גם ההפך שגוי: בטור מתכנס בהחלט שינוי סדר אינו משנה את הסכום (משפט 3.6.3).
לשכוח את המקרים [math]\displaystyle{ S=\pm\infty }[/math]: המשפט מבטיח גם שינוי סדר שסכומו [math]\displaystyle{ \infty }[/math] וגם שינוי סדר שסכומו [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], ובלעדיהם אי אפשר להסיק, למשל, שבטור שמתכנס בתנאי יש שינוי סדר שבו הטור אינו מתכנס כלל (דוגמה 5ב).
להחיל את המשפט על טור שמתכנס בהחלט: בטור כזה כל שינוי סדר מתכנס לאותו סכום (משפט 3.6.3), ולכן את [math]\displaystyle{ \sum\frac{n\cos(n!)}{3^n} }[/math], שסכומו בערכו המוחלט לכל היותר [math]\displaystyle{ 2 }[/math], אי אפשר לסדר מחדש לסכום [math]\displaystyle{ -5 }[/math] (דוגמה 4א).
לטעון בהוכחה ש"אחרי מספר סופי של צעדים נעבור את [math]\displaystyle{ S }[/math]" בלי נימוק: זה נכון רק כי סכום החיוביים וסכום השליליים אינסופיים גם אחרי השמטת מספר סופי של איברים (משפט 3.5.4); בטור שמתכנס בהחלט ייתכן שסכום כל החיוביים קטן מ־[math]\displaystyle{ S }[/math] (בסרטון, 04:39–05:07: "מי מבטיח לי...").
להחיל את המשפט על טור מתכנס בתנאי, למשל לטעון שכל סידור של [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math] מתכנס לאותו סכום: טור זה אינו מתכנס בהחלט (הטור ההרמוני מתבדר), ולפי משפט רימן לכל [math]\displaystyle{ S\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] יש לו שינוי סדר שסכומו [math]\displaystyle{ S }[/math] (ובדוגמה 7(ב) הסידור "שני חיוביים ואחריהם שלילי" כבר משנה את סכומו). לפני שמשתמשים במשפט בודקים ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס.
"קודם כל החיוביים ואחר כך כל השליליים" אינו שינוי סדר כשיש אינסוף איברים חיוביים ולפחות איבר שלילי אחד: לאף איבר שלילי לא נשאר מקום בסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה על. השוויון [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty a_k^+-\sum_{k=1}^\infty a_k^- }[/math] בטור מתכנס בהחלט נובע מטענות 3.5.2 ו־3.5.3 ומחשבון טורים (3.1.7), לא משינוי סדר.
לתרגול
מועד א' תשע"ז (תיכוניסטים) · שאלה 1: סדרה מתכנסת אם ורק אם כל שינויי הסדר שלה מתכנסים (השאלות והצעת פתרון של לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים
משפט רימן לשינויי סדר איברי הטור · שני המשפטים על שינוי סדר, והגדרת "סדרה הנוצרת משינוי מיקום אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math]" בעזרת [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] חח"ע ועל (בלי הוכחות)
מועד ב' תשס"ג · חלק א', שאלה 4: טור שסכומו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] עם סידור מחדש שסכומו [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (דוגמה 5א), עם פתרון סטודנטים; נוסח השאלות אינו בדף
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ח: האם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \sum p_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum q_n }[/math] מתכנסים? (שם [math]\displaystyle{ p_n,q_n }[/math] הם החלק החיובי והחלק השלילי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ולא שינויי סדר.) זו העובדה שעליה נשענת ההוכחה של משפט רימן (פתרון)
![הדוגמה מהסרטון: אותם איברים בשני סדרים. משמאל הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (עמודות): האיבר [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אחריו 2 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], אחריהם 4 זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה. הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] (נקודות ירוקות) מתחלפים בין [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לבין ערכים שקרובים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] יותר ויותר ([math]\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\dots }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math]. מימין שינוי הסדר [math]\displaystyle{ p_n }[/math]: איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים (הקווים המנוקדים מפרידים בין השלשות). סכום כל שלשה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] חוזרים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] בסוף כל שלשה, ו־[math]\displaystyle{ D_n\to0 }[/math]. בכל צד מוצגים 30 האיברים הראשונים; בסדרה כולה מופיעים בשני הצדדים אותם איברים, כל אחד פעם אחת בדיוק.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-11.png)
![הסכומים החלקיים של הטור מהסרטון, [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots }[/math] (דוגמה 1). בסדר המקורי ([math]\displaystyle{ S_n }[/math], עיגולים חלולים אפורים) הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. אחרי שינוי הסדר שנבנה לפי הוכחת משפט רימן עם המטרה [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ([math]\displaystyle{ D_n }[/math], עיגולים ירוקים) הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math]: מוסיפים איברים חיוביים עד הפעם הראשונה שעוברים את [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ([math]\displaystyle{ D_9=3.25 }[/math]), אחר כך שליליים עד שחוזרים מתחתיו ([math]\displaystyle{ D_{10}=2.75 }[/math]), וחוזר חלילה. בכל נקודת החלפה המרחק מ־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] הוא לכל היותר גודל האיבר האחרון שנוסף, והאיברים שואפים לאפס, ולכן השטח הכחול, בין [math]\displaystyle{ D_n }[/math] לבין [math]\displaystyle{ \pi }[/math], הולך ומצטמצם (ב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] שתי הסדרות שוות [math]\displaystyle{ 1 }[/math]).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-12.png)
![שני טורים, ואותו שינוי סדר בדיוק: איבר חיובי ואחריו שני השליליים הבאים. בכל חלון העיגולים התכולים הם הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=a_1+\cdots+a_n }[/math] בסדר המקורי, והעיגולים הירוקים הם הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n=p_1+\cdots+p_n }[/math] אחרי שינוי הסדר. משמאל הטור [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots }[/math] מדוגמה 1, שמתכנס בהחלט: שתי הסדרות מתקרבות לאותו סכום, [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} }[/math], כפי שמבטיח המשפט. מימין הטור מהסרטון על השפעת שינוי הסדר ([math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואחריו שני זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} }[/math], ארבעה זוגות [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},\frac{1}{4} }[/math] וכן הלאה), שמתכנס רק בתנאי: [math]\displaystyle{ S_n\to1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ D_n\to0 }[/math] (הקו האדום). ההבדל הוא בדיוק ההנחה של המשפט: משמאל טור הערכים המוחלטים מתכנס (סכומו [math]\displaystyle{ 2 }[/math]), ומימין הוא מתבדר.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-13.png)