אינפי 1/חקירה של פונקציות מונוטוניות
📄 דף מעודכן על הנושא: תחומי עלייה וירידה של פונקציה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.
משפט
תהי [math]\displaystyle{ f\in D(a,b) }[/math] אזי
(המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] מפריכה)
(המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה [math]\displaystyle{ f(x)=-x^3 }[/math] מפריכה)
הוכחה.
קודם כל נוכיח את [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math] עבור המשפט הראשון ועבור השאר הכיוון הזה מוכח באופן דומה:
יהיו [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in (a,b) }[/math] ובה"כ נניח [math]\displaystyle{ x_1\leq x_2 }[/math] אז לפי לגרנז’ [math]\displaystyle{ \exists c\in (x_1,x_2) : f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} }[/math] אבל [math]\displaystyle{ f'(c)\geq 0 }[/math] וגם המכנה חיובי ומכאן ש- [math]\displaystyle{ f(x_2)\geq f(x_1) }[/math].
כעת עבור [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math] שוב נוכיח עבור המשפט הראשון ועבור המשפט השני באופן דומה:
\begin{displaymjx}f'(x)=f'_+ (x) =\lim_{t\to 0^+} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}\end{displaymjx}
אבל גם המונה אי שלילי (מהנתון) והמכנה חיובי ומכאן ש- [math]\displaystyle{ f'(x)\geq 0 }[/math]
∎