בקצרה:תחומי עלייה וירידה של פונקציה הם הקטעים שבהם הגרף שלה רק עולה או רק יורד, ואת ההגדרה של פונקציה עולה ופונקציה יורדת לא בודקים בפועל לכל זוג נקודות: מסתכלים על סימן הנגזרת. זו התשובה לשאלה איך מוכיחים שפונקציה עולה: אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] בכל נקודות הקטע, הפונקציה עולה בו, ואם הנגזרת אי-חיובית בכל נקודות הקטע, היא יורדת בו; את הקשר בין השיפוע בנקודה לבין העלייה בין שתי נקודות מבטיח משפט לגראנז'. השימוש העיקרי בכך הוא חקירת משוואות: מספר הפתרונות נקבע לפי תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שמקבלים אחרי העברת אגף, כי בכל תחום שבו היא עולה ממש או יורדת ממש יש לכל היותר פתרון אחד, ומשפט ערך הביניים מראה באילו תחומים יש פתרון. באותה שיטה עושים הוכחת אי-שוויון בעזרת נגזרת: מעבירים אגף, בונים פונקציה, ומראים לפי תחומי העלייה והירידה שלה שהיא אינה שלילית.
עלייה, ירידה והנגזרת
▶ ההרצאה: תחומי עלייה וירידה, ומשפט לגראנז'
הגרף של [math]\displaystyle{ f(x)=x^3-3x }[/math]. הנגזרת [math]\displaystyle{ f'(x)=3(x-1)(x+1) }[/math] אי-שלילית ברצועות הכחולות, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], והיא אי-חיובית בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], שבו [math]\displaystyle{ f }[/math] יורדת; הנגזרת מתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math], ולכן העלייה והירידה הן ממש. בכל אחד משלושת התחומים הישר האופקי [math]\displaystyle{ y=a }[/math] חותך את הגרף לכל היותר פעם אחת, ולכן למשוואה [math]\displaystyle{ x^3-3x=a }[/math] יש לכל היותר שלושה פתרונות: עבור [math]\displaystyle{ a=3 }[/math] פתרון אחד, עבור [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] שלושה, ועבור [math]\displaystyle{ a=2 }[/math] רק שניים, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=2 }[/math], כי בנקודה האדומה [math]\displaystyle{ (-1,2) }[/math] הישר נוגע בגרף בקצה המשותף של שני תחומים. הנקודה הירוקה [math]\displaystyle{ (1,-2) }[/math] היא נקודת המינימום המקומי (ראו את הדוגמה הרביעית).
הגדרה 6.5.1פונקציה עולה, יורדת ועולה ממש בתחום▶ סרטון 0:14
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.
[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת עולה בתחום [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x_1)\le f(x_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math]:
[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת יורדת בתחום [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x_1)\ge f(x_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת עולה ממש בתחום [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x_1)<f(x_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math].
במילים: אי-השוויון חלש, ולכן גם פונקציה קבועה היא עולה.
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה בתחום [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם ורק אם לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קטע, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math], ולא קיים קטע [math]\displaystyle{ [a,b]\subseteq A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math].
מסקנה 6.5.6
יהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קטע, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math].
עקרונות החקירה
בחקירת שוויון או אי-שוויון מעבירים אגף ובונים פונקציה. ▶ סרטון 0:22
מחשבים את קצוות תחומי העלייה והירידה, וכשאי אפשר להציב — מחשבים גבול. ▶ סרטון 8:27
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שאלת בוחן: תחומי העלייה והירידה של [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x+\frac{1}{x} }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]. (א) מצאו את תחומי העלייה והירידה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. (ב) האם [math]\displaystyle{ f }[/math] יורדת בתחום [math]\displaystyle{ [-1,0)\cup(0,1] }[/math]? (ג) מצאו את הערך המינימלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל תחום הגדרתה, ולכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2} }[/math]. המכנה חיובי, ולכן הסימן של [math]\displaystyle{ f' }[/math] הוא הסימן של [math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(x)>0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math], [math]\displaystyle{ f'(x)<0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0<|x|<1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f'(\pm1)=0 }[/math].
(א) ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'\ge0 }[/math], ובקטעים [math]\displaystyle{ [-1,0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'\le0 }[/math]. בכל אחד מארבעת הקטעים הנגזרת מתאפסת רק בקצה ([math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]), ולכן אין בו קטע [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math] עם [math]\displaystyle{ c<d }[/math] שבו [math]\displaystyle{ f'\equiv0 }[/math]. לפי מסקנה 6.5.5 (בקטעי הירידה: על [math]\displaystyle{ -f }[/math]), [math]\displaystyle{ f }[/math]עולה ממש ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], ויורדת ממש ב־[math]\displaystyle{ [-1,0) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ (0,1] }[/math]. הנקודות [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] שייכות לשני התחומים הסמוכים להן.
(ב) לא. [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\frac{1}{2} }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{2} }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2} }[/math]. בכל אחד משני הקטעים [math]\displaystyle{ f }[/math] יורדת, אבל באיחוד שלהם לא: האיחוד אינו קטע (חסרה בו הנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math]), ולכן מסקנה 6.5.5 אינה חלה עליו, ובדיוק כמו [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x} }[/math] בסרטון, מירידה בכל אחד משני תחומים נפרדים אי אפשר להסיק ירידה באיחוד שלהם: צריך להשוות גם נקודה משמאל ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לנקודה מימין לו, וכאן ההשוואה נכשלת.
(ג) [math]\displaystyle{ f }[/math] יורדת ב־[math]\displaystyle{ (0,1] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(1) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0<x\le1 }[/math]; ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(1) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge1 }[/math]. לכן הערך המינימלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ f(1)=2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\ge2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math].
במבחן הדמה (סעיף ב) ממשיכים: כמה פתרונות יש למשוואה [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=2\sin x }[/math]? (רמז: עבור [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] השוו את המינימום של אגף שמאל, [math]\displaystyle{ 2 }[/math], למקסימום של אגף ימין, ושימו לב ש [math]\displaystyle{ \sin1\ne1 }[/math]; ובאופן דומה עבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math].)
מקור: תמליל 73 (3DXDneBUnK8): [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x} }[/math] עם שני תחומי עלייה, שאינה עולה בתחום [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] (00:46–01:45, t=46s), ו־[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math], כולל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (01:47–02:20, t=107s); מבחן דמה 2 תשע"ז, 88-132 אינפי 1 מתמטיקה (W4a E17D2), שאלה 3: (א) הערך המינימלי של [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x} }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], (ב) מספר הפתרונות של [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=2\sin x }[/math] (בארכיון יש רק צילום של השאלון, בלי פתרון); מאגר ת6-077 (הגדרת עלייה וירידה, ק' 1–2, בוחן ✓) ות6-090. הסעיפים על תחומי העלייה והירידה ועל האיחוד נוספו כאן בסגנון שאלת בוחן.
דוגמה 2: הוכחת אי-שוויון בעזרת נגזרת: [math]\displaystyle{ 4x\ln x-8x+4e\ge0 }[/math]
הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 4x\ln x-8x+4e\ge0 }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=4x\ln x-8x+4e }[/math] בקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], וצריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ h(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] (אגף ימין כבר [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כך שאין צורך להעביר אגף).
[math]\displaystyle{ h }[/math] גזירה, ולכן רציפה, בכל [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], ולפי כלל המכפלה [math]\displaystyle{ h'(x)=4\ln x+4x\cdot\frac{1}{x}-8 }[/math] [math]\displaystyle{ =4(\ln x-1) }[/math].
[math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה ממש ו־[math]\displaystyle{ \ln e=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h'(x)<0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0<x<e }[/math], [math]\displaystyle{ h'(e)=0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h'(x)>0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x>e }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ 0<x<e }[/math]. [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [x,e] }[/math], גזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (x,e) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h'\le0 }[/math] שם; לפי טענה 6.5.3 (על [math]\displaystyle{ -h }[/math]) [math]\displaystyle{ h }[/math] יורדת ב־[math]\displaystyle{ [x,e] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(x)\ge h(e) }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ x>e }[/math]. [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [e,x] }[/math], גזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (e,x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h'\ge0 }[/math] שם; לפי טענה 6.5.3 [math]\displaystyle{ h }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ [e,x] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(x)\ge h(e) }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ e }[/math] היא נקודת המינימום של [math]\displaystyle{ h }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h(e)=4e\ln e-8e+4e=0 }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ h(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], כנדרש.
יתרה מזו, שוויון מתקבל רק ב־[math]\displaystyle{ x=e }[/math]: הנגזרת אינה מתאפסת בשום קטע, ולכן לפי מסקנה 6.5.5 [math]\displaystyle{ h }[/math] יורדת ממש ב־[math]\displaystyle{ (0,e] }[/math] ועולה ממש ב־[math]\displaystyle{ [e,\infty) }[/math]. שימו לב: לא מספיק למצוא ש [math]\displaystyle{ h'(e)=0 }[/math]; את המינימום נותנים תחומי העלייה והירידה.
מקור: מועד א' תש"ף, 83-112 חדו"א 1 להנדסה (13.2.20), שאלה 3א, עם פתרון מלא של ארז (R6a E80-A; עיקר הפתרון: מינימום ב־e); בסעיף 3ב שם מבקשים לאילו [math]\displaystyle{ a }[/math] יש פתרון יחיד ל־[math]\displaystyle{ 2x^2\ln x-5x^2+4ex=a }[/math], והנגזרת של אגף שמאל היא בדיוק [math]\displaystyle{ h }[/math] (מהפתרון: "כלומר הנגזרת גדולה או שווה לאפס (ומתאפסת בנק' אחת בלבד) ולכן הפונקציה g עולה ממש בתחום הגדרתה"; מסומן "מצוין"); מאגר ת6-065 (ק' 1–3, בוחן ✓); עקרונות החקירה, תמליל 74 (zX9XkY_mdDQ) 00:22–00:30 (t=22s): "כאשר יש לנו משוואה או אי שוויון ... מעבירים אגף ובונים פונקציה".
דוגמה 3: הדוגמה מהסרטון: כמה פתרונות יש ל־[math]\displaystyle{ \sin x=x+a }[/math]?
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. מצאו כמה פתרונות יש למשוואה [math]\displaystyle{ \sin x=x+a }[/math].
מעבירים אגף ובונים פונקציה: [math]\displaystyle{ h(x)=\sin x-x-a }[/math]. הפתרונות של המשוואה הם בדיוק השורשים של [math]\displaystyle{ h }[/math], כלומר הנקודות שבהן הגרף של [math]\displaystyle{ h }[/math] חותך את ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math].
לכל היותר פתרון אחד.[math]\displaystyle{ h }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h'(x)=\cos x-1\le0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], כי [math]\displaystyle{ \cos x\le1 }[/math]. הנגזרת מתאפסת אינסוף פעמים (בדיוק בנקודות [math]\displaystyle{ x=2\pi k }[/math] עם [math]\displaystyle{ k\in\mathbb Z }[/math]), ולכן טבלת סימנים אינה מעשית; אבל כל קטע [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math] עם [math]\displaystyle{ c<d }[/math] מכיל רק מספר סופי של נקודות כאלה, ולכן אין קטע שבו [math]\displaystyle{ h'\equiv0 }[/math]. לפי מסקנה 6.5.5 (על [math]\displaystyle{ -h }[/math]), [math]\displaystyle{ h }[/math] יורדת ממש בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ולכן היא חותכת את ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] לכל היותר פעם אחת.
לפחות פתרון אחד. אי אפשר להציב ערכים ב־[math]\displaystyle{ h }[/math] בלי לדעת את [math]\displaystyle{ a }[/math], ולכן מחשבים גבולות: [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ -x-a\to-\infty }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}h(x)=-\infty }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ -x-a\to\infty }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}h(x)=\infty }[/math].
לכן קיימות נקודות [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(x_1)>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h(x_2)<0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math] כי [math]\displaystyle{ h }[/math] יורדת. [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [x_1,x_2] }[/math] כצירוף של פונקציות רציפות, ולפי משפט ערך הביניים (על [math]\displaystyle{ -h }[/math]) יש לה שורש בקטע.
מסקנה: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] יש למשוואה פתרון אחד בדיוק. וכמו שנאמר בסרטון, העובדה שיש פתרון אינה אומרת שאנחנו יודעים למצוא אותו (למשל, עבור [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] רואים מיד שהפתרון הוא [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]).
מקור: תמליל 74 (zX9XkY_mdDQ), כל הסרטון: השאלה 00:07 (t=7s); העברת אגף ובניית [math]\displaystyle{ h }[/math] 00:22–00:44; "הנגזרת מתאפסת אינסוף פעמים ואין לנו זמן לטבלה כזו ארוכה" 01:46–01:50; יורדת ממש 02:18–02:42; "מה עושים בחדווה כשלא יכולים להציב? מחשבים גבול" 03:24–03:28; ערך הביניים 04:03–04:24; "העובדה שאנחנו יודעים שיש פתרון לא אומרת שאנחנו יודעים איך למצוא אותו" 04:58; דף הקורס (rev 90835), סעיף "משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה", "דוגמא"; מאגר ת6-083 (ק' 2–3, בוחן ✓; וריאנטים [math]\displaystyle{ x=\cos x+a }[/math], [math]\displaystyle{ x=\sin x }[/math]).
דוגמה 4: מספר הפתרונות לפי פרמטר: [math]\displaystyle{ x^3-3x=a }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], מצאו כמה פתרונות יש למשוואה [math]\displaystyle{ x^3-3x=a }[/math] (הפרידו למקרים).
נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=x^3-3x-a }[/math]. זה פולינום, ולכן [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה וגזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) }[/math].
תחומי עלייה וירידה.[math]\displaystyle{ h'\ge0 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], [math]\displaystyle{ h'\le0 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], והנגזרת מתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math]. לפי מסקנה 6.5.5 (בקטע הירידה: על [math]\displaystyle{ -h }[/math]), [math]\displaystyle{ h }[/math] עולה ממש ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math], יורדת ממש ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ועולה ממש ב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], ולכן בכל אחד משלושת הקטעים יש לה לכל היותר שורש אחד.
הקצוות.[math]\displaystyle{ h(-1)=2-a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h(1)=-2-a }[/math]. בקצוות האינסופיים אי אפשר להציב, ולכן מחשבים גבול: [math]\displaystyle{ h(x)=x^3\left(1-\frac{3}{x^2}-\frac{a}{x^3}\right) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty }[/math].
באיזה קטע יש שורש. בקטע שבו [math]\displaystyle{ h }[/math] מונוטונית יש שורש אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] נמצא בין ערכי הקצוות (או הגבולות בקצוות): בכיוון אחד לפי משפט ערך הביניים (ליד קצה אינסופי בוחרים נקודה שבה [math]\displaystyle{ h }[/math] כבר בסימן של הגבול), ובכיוון השני כי [math]\displaystyle{ h }[/math] מונוטונית, ולכן כל ערכיה בקטע הם בין ערכי הקצוות. לכן יש שורש ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ h(-1)\ge0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a\le2 }[/math]; ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ h(-1)\ge0\ge h(1) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -2\le a\le2 }[/math]; וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ h(1)\le0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a\ge-2 }[/math].
ספירה (שורש בנקודה [math]\displaystyle{ -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ 1 }[/math] שייך לשני קטעים, ונספר פעם אחת):
[math]\displaystyle{ a>2 }[/math] או [math]\displaystyle{ a<-2 }[/math]: פתרון אחד.
[math]\displaystyle{ a=2 }[/math]: שני פתרונות, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) }[/math]. [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math]: שני פתרונות, [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=-2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) }[/math].
[math]\displaystyle{ -2<a<2 }[/math]: שלושה פתרונות, אחד בכל אחד מהקטעים [math]\displaystyle{ (-\infty,-1) }[/math], [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math].
מקור: מועד ב' תש"ף, 83-112 חדו"א 1 להנדסה (5.3.20), שאלה 3 (מספר הפתרונות של המשוואה לכל a, בחלוקה למקרים), עם פתרון מלא של ארז (R6a E80-B, מסומן "מצוין"; חמשת המקרים כמו כאן) = R7a BS20B ש4 = R8a B25 L1120 = לוח 9.5.22 (R6b); מאגר ת6-086 (ק' 2, בוחן ✓); הקבצים בוויקי: 20EngHedva1TestB.pdf ו־20EngHedva1TestBSol.pdf. עקרונות החקירה (שלושת השלבים): תמליל 74 00:22, 01:19, ותמליל 68 (WdKVN6R0NfU) 08:27 "כשאי אפשר להציב, מחשבים גבול".
טעויות נפוצות
לאחד תחומי עלייה: [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x} }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,0) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], אבל אינה עולה בתחום [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ -1<1 }[/math] ובכל זאת [math]\displaystyle{ f(-1)=1 }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ f(1)=-1 }[/math] (סרטון 73, 01:00); לכן כותבים כל תחום עלייה או ירידה כקטע נפרד, וכוללים בו את נקודות הקצה שבתחום ההגדרה ([math]\displaystyle{ x^2 }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math], כולל [math]\displaystyle{ 0 }[/math]).
להסיק עלייה ממש מ־[math]\displaystyle{ f'\ge0 }[/math]: גם פונקציה קבועה מקיימת [math]\displaystyle{ f'\ge0 }[/math], ומסקנה 6.5.4 נותנת רק [math]\displaystyle{ f(a)<f(b) }[/math] או קביעות בכל הקטע, ולא עלייה ממש: הפונקציה ששווה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (x-1)^2 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [1,2] }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ [0,2] }[/math], גזירה ב־[math]\displaystyle{ (0,2) }[/math] עם [math]\displaystyle{ f'\ge0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(0)<f(2) }[/math], אבל אינה עולה ממש; לעלייה ממש צריך גם שהנגזרת לא תתאפס בקטע שלם (מסקנה 6.5.5).
לחשוב שעלייה ממש דורשת [math]\displaystyle{ f'>0 }[/math] בכל הקטע: [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] עולה ממש אף שהנגזרת שלה מתאפסת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sin x-x }[/math] יורדת ממש אף שהנגזרת שלה, [math]\displaystyle{ \cos x-1 }[/math], מתאפסת אינסוף פעמים; מספיק ש [math]\displaystyle{ f'\ge0 }[/math] ושהנגזרת לא תתאפס בקטע שלם (מסקנה 6.5.5).
להסיק מ־[math]\displaystyle{ f'=0 }[/math] שהפונקציה קבועה כשהתחום אינו קטע: הנגזרת של [math]\displaystyle{ \arctan x+\arctan\frac{1}{x} }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בכל תחום ההגדרה, אבל הפונקציה שווה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] (וכך גם [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x} }[/math]); מסקנה 6.5.6 נותנת קביעות רק בקטע.
להסתפק במונוטוניות כדי לטעון "יש פתרון אחד בדיוק": עלייה ממש נותנת רק לכל היותר פתרון אחד בכל תחום, ו־[math]\displaystyle{ e^x }[/math] עולה ממש ואינה מתאפסת אף פעם (סרטון 74, 01:06); את הקיום מוכיחים בנפרד בעזרת משפט ערך הביניים, ובקצה שאי אפשר להציב בו (נקודה מחוץ לתחום ההגדרה, או [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]) מחשבים גבול.
לתרגול
מבחן דמה תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 4: אם [math]\displaystyle{ f'=g' }[/math] בקטע ו־[math]\displaystyle{ f(a)=g(a) }[/math] בנקודה אחת, אז [math]\displaystyle{ f=g }[/math] בכל הקטע, ומכאן [math]\displaystyle{ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] (פתרון). קושי 2.
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 5: אם [math]\displaystyle{ f(x)\ge x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], אז לכל [math]\displaystyle{ a<1 }[/math] יש נקודה שבה [math]\displaystyle{ f'(x)>a }[/math] (רמז: [math]\displaystyle{ f(x)-ax }[/math]) (פתרון). קושי 3–4.
מועד א' תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 4א: מצאו [math]\displaystyle{ a }[/math] שעבורו למשוואה [math]\displaystyle{ e^x=x+a }[/math] יש פתרון יחיד (פתרון). קושי 2.
מועד א' תש"ף (הנדסה) · שאלה 3: סעיף א הוא הדוגמה השנייה בדף; בסעיף ב, לאילו [math]\displaystyle{ a }[/math] יש פתרון יחיד למשוואה [math]\displaystyle{ 2x^2\ln x-5x^2+4ex=a }[/math] (הנגזרת של אגף שמאל היא הפונקציה מסעיף א) (פתרון). קושי 1–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות
מערך תרגול: גזירות · הסעיף "מונוטוניות" (סימן הנגזרת ומונוטוניות), ומיד אחריו הסעיף "פרמה, רול ולגראנז'"
![הגרף של [math]\displaystyle{ f(x)=x^3-3x }[/math]. הנגזרת [math]\displaystyle{ f'(x)=3(x-1)(x+1) }[/math] אי-שלילית ברצועות הכחולות, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ (-\infty,-1] }[/math] וב־[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], והיא אי-חיובית בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], שבו [math]\displaystyle{ f }[/math] יורדת; הנגזרת מתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math], ולכן העלייה והירידה הן ממש. בכל אחד משלושת התחומים הישר האופקי [math]\displaystyle{ y=a }[/math] חותך את הגרף לכל היותר פעם אחת, ולכן למשוואה [math]\displaystyle{ x^3-3x=a }[/math] יש לכל היותר שלושה פתרונות: עבור [math]\displaystyle{ a=3 }[/math] פתרון אחד, עבור [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] שלושה, ועבור [math]\displaystyle{ a=2 }[/math] רק שניים, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=2 }[/math], כי בנקודה האדומה [math]\displaystyle{ (-1,2) }[/math] הישר נוגע בגרף בקצה המשותף של שני תחומים. הנקודה הירוקה [math]\displaystyle{ (1,-2) }[/math] היא נקודת המינימום המקומי (ראו את הדוגמה הרביעית).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c6-05b.png)
