יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] ונניח ש-
א. הסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] חסומה.
ב. [math]\displaystyle{ a_n \searrow 0 }[/math] (יורדת מונוטונית ל-0)
אזי הטור מתכנס
המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה [math]\displaystyle{ (-1)^n c_n }[/math] כש- [math]\displaystyle{ c_n }[/math] יורדת מונו’ ל-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וקל לראות שהסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n }[/math] חסומה.
הוכחה.
באמצעות קריטריון קושי
נסמן את הסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] בתור [math]\displaystyle{ B_n }[/math] (מתקיים ש- [math]\displaystyle{ B_n-B_{n-1}=b_n }[/math] ).
נסמן את הסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] ב- [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ואז מתקיים ש- \begin{displaymjx}S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1})\end{displaymjx} (סכום טלסקופי). כיוון ש- [math]\displaystyle{ B_n }[/math] חסומה ו- [math]\displaystyle{ a_{n+1} }[/math] שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת ולכן [math]\displaystyle{ a_k - a_{k+1} \geq 0 }[/math] ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:
[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} }[/math] וזהו טור טלסקופי ששואף ל- [math]\displaystyle{ M a_0 }[/math] ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס.
∎
