בקצרה:מבחן דיריכלה הוא מבחן להתכנסות של טורים שסימני האיברים שלהם אינם קבועים, ובפרט של טורים שמתכנסים רק בתנאי, שבהם מבחני ההשוואה, המנה והשורש אינם עוזרים. כותבים את האיבר הכללי כמכפלה [math]\displaystyle{ a_kb_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_k }[/math] יורדת מונוטונית לאפס, ו־[math]\displaystyle{ b_k }[/math] היא סדרה שהאיברים החיוביים והשליליים שלה מבטלים זה את זה, כך שסדרת הסכומים החלקיים שלה חסומה (גם אם אינה מתכנסת). הדוגמה המרכזית היא הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math], שמתכנס, אבל רק בתנאי. שימו לב: התנאי הוא על הסכומים החלקיים של [math]\displaystyle{ b_k }[/math], ולא על [math]\displaystyle{ b_k }[/math] עצמה.
▶ ההרצאה: מבוא למבחן דיריכלה
▶ ההרצאה: הוכחת מבחן דיריכלה
משמאל: הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=\sin1+\cdots+\sin n }[/math] (הסס"ח של [math]\displaystyle{ b_n=\sin n }[/math]) אינם מתכנסים, אבל כולם נמצאים ברצועה [math]\displaystyle{ |S_n|<M }[/math], עם [math]\displaystyle{ M=\frac{2}{\sin1} }[/math] (דוגמה 2). מימין: הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] של הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math], כלומר עם [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math], מתכנסים לסכום הטור [math]\displaystyle{ D }[/math] (הקו הירוק; אפשר להראות ש [math]\displaystyle{ D=\frac{\pi-1}{2}\approx1.07 }[/math], אבל זה מחוץ לקורס). המשפך הכחול הוא החסם מההוכחה: לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |D_m-D_n|\le2Ma_{n+1} }[/math], ובגבול [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] גם [math]\displaystyle{ |D-D_n|\le2Ma_{n+1}=\frac{2M}{n+1} }[/math]. זה בדיוק מה שהופך את [math]\displaystyle{ D_n }[/math] לסדרת קושי.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מונוטונית יורדת כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה ממשית כך שהסס"ח שלה, [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^nb_k }[/math], חסומה, כלומר קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |S_n|<M }[/math].
דוגמה 1: בסגנון בוחן: סימנים בבלוקים [math]\displaystyle{ +,+,- }[/math]
קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{3}-\frac{2}{5} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{2}{11}+\cdots }[/math] מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר. (המכנים הם המספרים האי־זוגיים, והמונים חוזרים במחזור [math]\displaystyle{ 1,1,-2 }[/math].)
זה אינו טור לייבניץ: הסימנים אינם מתחלפים (שני פלוס ואחריהם מינוס). נכתוב אותו כ־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_kb_k }[/math], עם [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{2k-1} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_k=-2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k }[/math] מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], [math]\displaystyle{ b_k=1 }[/math] אחרת. הסדרה [math]\displaystyle{ a_k }[/math] חיובית, מונוטונית יורדת (המכנה [math]\displaystyle{ 2k-1 }[/math] עולה) ו־[math]\displaystyle{ a_k\to0 }[/math]. הסס"ח של [math]\displaystyle{ b_k }[/math] היא [math]\displaystyle{ 1,2,0,1,2,0,\dots }[/math]: כל בלוק של שלושה איברים תורם [math]\displaystyle{ 1+1-2=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S_n\in\{0,1,2\} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ |S_n|<3 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר הסס"ח חסומה. לפי מבחן דיריכלה הטור מתכנס. בהחלט? כיוון ש [math]\displaystyle{ |b_k|\ge1 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_kb_k|\ge a_k=\frac{1}{2k-1} }[/math] [math]\displaystyle{ \ge\frac{1}{2k}>0 }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{2k} }[/math] מתבדר: אחרת, לפי חשבון טורים (טענה 3.1.7), גם [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{k}=\sum2\cdot\frac{1}{2k} }[/math] היה מתכנס, בסתירה למשפט 3.3.3. לכן לפי מבחן ההשוואה (מסקנה 3.3.5) גם [math]\displaystyle{ \sum|a_kb_k| }[/math] מתבדר. מסקנה: הטור מתכנס בתנאי.
מקור: תרגול 8 של לואי ומני, עמ' 4 (Infi1LMTirgul8.pdf; W2b: "בדקו את התכנסות הטור", [math]\displaystyle{ b_n=1,1,-2,\dots }[/math] והסס"ח 0, 1, 2 לפי השארית בחלוקה ב־3; שם נשאלה רק ההתכנסות, והחלק על התכנסות בהחלט נוסף כאן); מאגר 3.4-14 (סימנים מחזוריים/בלוקים, ק' 3–4). נוסח "מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר" כמו בשאלות 2 במבחני ארז (למשל קיץ תשפ"א); קצר מספיק לבוחן (כ־5 דקות).
דוגמה 2: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math] מתכנס
נכתוב את הטור כ־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\cdot\sin k }[/math], עם [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_k=\sin k }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math] מונוטונית יורדת ושואפת לאפס. לא מספיק ש [math]\displaystyle{ |\sin k|\le1 }[/math]: צריך להראות שהסס"ח [math]\displaystyle{ S_n=\sin1+\sin2+\cdots+\sin n }[/math] חסומה. נכפול ב־[math]\displaystyle{ 2\sin1 }[/math] ונשתמש בזהות [math]\displaystyle{ 2\sin\alpha\sin\beta }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos(\beta-\alpha)-\cos(\beta+\alpha) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 2\sin1\sin k }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos(k-1)-\cos(k+1) }[/math]. מתקבל סכום טלסקופי: [math]\displaystyle{ 2\sin1\cdot S_n=(\cos0-\cos2) }[/math] [math]\displaystyle{ +(\cos1-\cos3)+(\cos2-\cos4) }[/math] [math]\displaystyle{ +\cdots+(\cos(n-1)-\cos(n+1)) }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos0+\cos1 }[/math] [math]\displaystyle{ \quad-\cos n-\cos(n+1) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<1<\frac{\pi}{2} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \sin1>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0<\cos1<1 }[/math]. לפי אי־שוויון המשולש, הערך המוחלט של אגף ימין קטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ 1+\cos1+1+1 }[/math], וזה קטן מ־[math]\displaystyle{ 4 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |S_n|<\frac{4}{2\sin1}=\frac{2}{\sin1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. כלומר הסס"ח של [math]\displaystyle{ \sin k }[/math] חסומה, עם [math]\displaystyle{ M=\frac{2}{\sin1} }[/math], ולפי מבחן דיריכלה הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math] מתכנס. המבחן אינו אומר אם ההתכנסות היא בהחלט; את זה בודקים בנפרד (דוגמה 3).
מקור: תמליל 41 (m5kFinYjG8A) 01:41–07:43 (https://www.youtube.com/watch?v=m5kFinYjG8A&t=101s): "הדוגמה הראשונה ואולי המרכזית ביותר", "סינוס חסומה זה בדיוק מה שצריך, אבל זה לא מה שצריך" (02:48), הכפל ב־2 sin 1 (03:58), הזהות (04:27), החסם 2/sin 1 (07:17–07:23); דף הקורס rev 90835, ====מבחן דיריכלה==== ("דוגמאות: Σsin(n)/n"); מערך תרגול תשע"ב, טורים/מבחנים כלליים §מבחן דיריכלה (אותו חישוב); מאגר 3.4-10 (◆, ק' 3–4).
דוגמה 3: [math]\displaystyle{ \sum\frac{|\sin k|}{k} }[/math] מתבדר: התכנסות בתנאי
את דיריכלה אי אפשר להפעיל כאן: אחרי הערך המוחלט אין יותר ביטולים, והסכומים [math]\displaystyle{ |\sin1|+\cdots+|\sin n| }[/math] אינם חסומים. במקום זה נקטין: לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le|\sin k|\le1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |\sin k|\ge\sin^2k }[/math]. לפי מבחן ההשוואה (מסקנה 3.3.5) מספיק להראות שהטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin^2k}{k} }[/math] מתבדר. לפי זהות הזווית הכפולה [math]\displaystyle{ \sin^2k=\frac{1-\cos2k}{2} }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{k}=2\cdot\frac{\sin^2k}{k}+\frac{\cos2k}{k} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\cos2k}{k} }[/math] מתכנס לפי דיריכלה: [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math] יורדת לאפס, ולפי הזהות [math]\displaystyle{ 2\sin1\cos2k }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin(2k+1)-\sin(2k-1) }[/math] הסכום טלסקופי: [math]\displaystyle{ 2\sin1\sum_{k=1}^n\cos2k }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin(2n+1)-\sin1 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^n\cos2k\right|\le\frac{1+\sin1}{2\sin1} }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac{1}{\sin1} }[/math]. נב"ש שהטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin^2k}{k} }[/math] מתכנס. אזי לפי חשבון טורים (טענה 3.1.7) גם הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{k}=\sum\Big(2\cdot\frac{\sin^2k}{k} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{\cos2k}{k}\Big) }[/math] מתכנס, בסתירה למשפט 3.3.3 (הטור ההרמוני מתבדר). לכן [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin^2k}{k} }[/math] מתבדר, וכיוון ש [math]\displaystyle{ 0\le\frac{\sin^2k}{k}\le\frac{|\sin k|}{k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math], לפי מסקנה 3.3.5 גם [math]\displaystyle{ \sum\frac{|\sin k|}{k} }[/math] מתבדר. מסקנה: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math] מתכנס (דוגמה 2) וטור הערכים המוחלטים שלו מתבדר, ולכן הוא מתכנס בתנאי (הגדרה 3.2.2): בלשון הסרטון, "בתנאי שלא ישימו עליו ערך מוחלט".
מקור: תמליל 41 (m5kFinYjG8A) 07:43–10:41 (https://www.youtube.com/watch?v=m5kFinYjG8A&t=463s): "אם נשים ערך מוחלט על כל הסינוסים, לא יהיה לנו את כל הצמצום" (07:59–08:07), "הבריבוע ביטל את הערך המוחלט" (08:48), הזהות והחשבון (09:01–09:23), הסס"ח של cos 2k חסומה "באופן דומה" (09:31; כאן החישוב נעשה במפורש), "בתנאי שלא ישימו עליו ערך מוחלט" (10:39); מערך תרגול תשע"ב, טורים/מבחנים כלליים §מבחן דיריכלה (תרגיל: Σsin²(n)/n ו־Σ|sin n|/n, עם פתרון באותה דרך); מאגר 3.4-10, 3.4-13 (◆; במחברת עמ' 59 נוסח בטעות "הוכח ש־Σsin²n/n מתכנס", ובעמ' 61 הוכח שהוא מתבדר).
דוגמה 4: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\ln(n^{\cos n})}{n} }[/math]
(מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 2ג) קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\ln\left(n^{\cos n}\right)}{n} }[/math] מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר.
לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln\left(n^{\cos n}\right)=\cos n\cdot\ln n }[/math], ולכן זה הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n}\cdot\cos n }[/math]. הסס"ח של [math]\displaystyle{ \cos n }[/math] חסומה. לפי הזהות [math]\displaystyle{ 2\sin\alpha\cos\beta }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin(\beta+\alpha)-\sin(\beta-\alpha) }[/math] עם [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \beta=k }[/math], הסכום טלסקופי: [math]\displaystyle{ 2\sin\tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n\cos k }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin\left(n+\tfrac{1}{2}\right)-\sin\tfrac{1}{2} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<\sin\frac{1}{2}<1 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^n\cos k\right|<\frac{2}{2\sin\frac{1}{2}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\sin\frac{1}{2}} }[/math]. מונוטוניות. לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<n }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] זה [math]\displaystyle{ \frac{64}{27}<3 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n\ge4 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le e }[/math] (משפט 2.9.5: הסדרה עולה ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ e<4\le n }[/math]. נכפול ב־[math]\displaystyle{ n^n }[/math] ונוציא [math]\displaystyle{ \ln }[/math] (פונקציה עולה): [math]\displaystyle{ n\ln(n+1)<(n+1)\ln n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{\ln(n+1)}{n+1}<\frac{\ln n}{n} }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ c_n=\frac{\ln n}{n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_1=c_2=\frac{\ln3}{3} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ c_n }[/math] מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ c_{2n}=\frac{\ln2}{2n}+\frac{1}{2}c_n }[/math], ו־[math]\displaystyle{ c_{2n} }[/math] תת־סדרה של [math]\displaystyle{ c_n }[/math]; בגבול [math]\displaystyle{ L=0+\frac{L}{2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ c_n\to0 }[/math] (זה גם נובע מסדרי הגודל). לפי מבחן דיריכלה הטור [math]\displaystyle{ \sum c_n\cos n }[/math] מתכנס, וכיוון ש [math]\displaystyle{ c_n\cos n=\frac{\ln n}{n}\cos n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>2 }[/math], לפי מסקנה 3.1.6 גם הטור שלנו מתכנס. לא בהחלט.[math]\displaystyle{ |\cos n|\ge\cos^2n=\frac{1+\cos2n}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \ln n\ge0 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}|\cos n|\ge\frac{\ln n}{2n} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{\ln n}{2n}\cos2n\ge0 }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\ln n}{2n}\cos2n }[/math] מתכנס כמו קודם (דיריכלה עם [math]\displaystyle{ \frac{c_n}{2} }[/math] והסס"ח החסומה של [math]\displaystyle{ \cos2n }[/math] מדוגמה 3, ומסקנה 3.1.6). הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\ln n}{2n} }[/math] מתבדר: לכל [math]\displaystyle{ n\ge4 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n>e }[/math] (כי [math]\displaystyle{ e<4 }[/math], משפט 2.9.5), ולכן [math]\displaystyle{ \ln n>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\ln n}{2n}>\frac{1}{2n} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{2n} }[/math] מתבדר (דוגמה 1; השוואה על הזנב [math]\displaystyle{ n\ge4 }[/math], מסקנות 3.3.5 ו־3.1.6). סכום של טור מתבדר וטור מתכנס מתבדר (אחרת, לפי טענה 3.1.7, ההפרש היה מתכנס), ולכן לפי מסקנה 3.3.5 גם טור הערכים המוחלטים מתבדר. התשובה: הטור מתכנס בתנאי.
מקור: מועד א' קיץ תשפ"א, 89-132 אינפי 1 למדמ"ח (30.9.21, ארז), שאלה 2ג: "קבעו לכל אחד מן הטורים הבאים: אם הוא מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר" (21Infi1CSSummerA.pdf); בפתרון הרשמי (21Infi1CSSummerASol.pdf) לסעיף זה כתוב רק "משהו עם דיריכלה" (W4b E2-Q2ג); השלמת הפתרון ב־W4c B1 ש2ג: דיריכלה עם ln n/n יורדת החל מ־n≥3, ו־|cos n| ≥ cos²n. מאגר 3.4-11 (◆, ק' 3–4); המונוטוניות בלי נגזרת, דרך [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le n }[/math], כמו במאגר 3.4-03.
טעויות נפוצות
"[math]\displaystyle{ \sin k }[/math] חסומה, זה בדיוק מה שצריך": לא. התנאי הוא על הסס"ח של [math]\displaystyle{ b_n }[/math], ולא על [math]\displaystyle{ b_n }[/math] עצמה (בסרטון, 02:48: "אבל זה לא מה שצריך"). הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] יורדת לאפס, אבל [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n=\sum\frac{1}{n} }[/math] מתבדר.
חסם שתלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] אינו חסם: [math]\displaystyle{ |\sin1+\cdots+\sin n|\le n }[/math] נכון, אבל אינו מראה שהסס"ח חסומה. צריך מספר [math]\displaystyle{ M }[/math] אחד שמתאים לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] (בסרטון, 03:41: "סכום של N סינוסים יכול להגיע ל־N").
מבחן דיריכלה מוכיח רק התכנסות: הוא אינו אומר אם הטור מתכנס בהחלט. כדי לקבוע אם ההתכנסות בהחלט או בתנאי בודקים בנפרד את [math]\displaystyle{ \sum|a_kb_k| }[/math] (בסרטון, 03:14); למשל [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math] מתכנס רק בתנאי.
להפעיל את דיריכלה על [math]\displaystyle{ \sum\frac{|\sin k|}{k} }[/math]: הערך המוחלט מבטל את הצמצום הטלסקופי, והסס"ח של [math]\displaystyle{ |\sin k| }[/math] אינה חסומה (היא גדולה מ־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\sin^2k\ge\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1} }[/math]).
לשכוח את המונוטוניות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אינם מספיקים. למשל עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n }[/math] (הסס"ח חסומה) מתקבל [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n=0+\frac{1}{2}+0+\frac{1}{4}+\cdots }[/math], שמתבדר. כשהסדרה יורדת רק החל ממקום מסוים (כמו [math]\displaystyle{ \frac{\ln n}{n} }[/math] החל מ־[math]\displaystyle{ n=3 }[/math]), מפעילים את המבחן על הזנב (מסקנה 3.1.6).
לתרגול
מועד א' תשפ"ו (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin(n+1)-\sin n}{n} }[/math], סכומים חלקיים טלסקופיים (כולל פתרון)
מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 2ג: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\ln(n^{\cos n})}{n} }[/math], הדוגמה הרביעית בדף (פתרון; לסעיף זה יש שם רק רמז)
מועד א' תשע"ז (תיכוניסטים) · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\cos(n\pi/6)}{\ln(n+1)} }[/math], מתכנס בתנאי (הצעת פתרון של לירן ויונתן)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים
טורים כלליים: מבחן דיריכלה · חסימות הסס"ח של [math]\displaystyle{ \sin n }[/math], ותרגיל עם פתרון: [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin^2n}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{|\sin n|}{n} }[/math] מתבדרים
תרגול 8 (לואי ומני) · עמ' 3–4: מבחן דיריכלה, הטור [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+\cdots }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin n\sin n^2}{n} }[/math], עם פתרונות
![משמאל: הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=\sin1+\cdots+\sin n }[/math] (הסס"ח של [math]\displaystyle{ b_n=\sin n }[/math]) אינם מתכנסים, אבל כולם נמצאים ברצועה [math]\displaystyle{ |S_n|<M }[/math], עם [math]\displaystyle{ M=\frac{2}{\sin1} }[/math] (דוגמה 2). מימין: הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] של הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sin k}{k} }[/math], כלומר עם [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math], מתכנסים לסכום הטור [math]\displaystyle{ D }[/math] (הקו הירוק; אפשר להראות ש [math]\displaystyle{ D=\frac{\pi-1}{2}\approx1.07 }[/math], אבל זה מחוץ לקורס). המשפך הכחול הוא החסם מההוכחה: לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |D_m-D_n|\le2Ma_{n+1} }[/math], ובגבול [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] גם [math]\displaystyle{ |D-D_n|\le2Ma_{n+1}=\frac{2M}{n+1} }[/math]. זה בדיוק מה שהופך את [math]\displaystyle{ D_n }[/math] לסדרת קושי.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-08.png)