בקצרה: מבחן העיבוי מיועד לטורים חיוביים שאיבריהם יורדים. מקבצים את האיברים ל"עננים" שגודלם מוכפל בכל פעם (איבר אחד, שניים, ארבעה, שמונה, ...), ומחליפים כל ענן באיבר אחד ממנו כפול מספר האיברים שבו; בגלל הירידה, הטור ה"מעובה" שמתקבל חוסם את הטור המקורי מלמעלה, וחציו חוסם אותו מלמטה (עד כדי האיבר הראשון), ולכן שני הטורים מתכנסים יחד או מתבדרים יחד. היתרון הוא שהטור המעובה פשוט בהרבה: חזקה של המקום בסדרה הופכת לטור הנדסי, ולוגריתם של המקום הופך למקום עצמו. כך מוכיחים את התוצאה המרכזית של הסעיף: הטור ההרמוני המוכלל [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^a} }[/math] מתכנס בדיוק כאשר החזקה גדולה מאחת, והוא קנה המידה הנפוץ ביותר במבחני ההשוואה.
▶ ההרצאה: מבחן העיבוי והטור ההרמוני המוכלל
שני אי־השוויונים שמהם נובע מבחן העיבוי, עבור הסדרה היורדת [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]. כל איבר מצויר כעמודה ברוחב [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובגובה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (מסגרת ירוקה), כך ששטחה הוא [math]\displaystyle{ a_n }[/math]; המלבנים התכולים הם ה"עננים" של הטור המעובה. משמאל: בענן [math]\displaystyle{ \{2^k,\dots,2^{k+1}-1\} }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] איברים, ומחליפים את כולם באיבר הראשון, הגדול ביותר, [math]\displaystyle{ a_{2^k} }[/math]. המלבן מכסה את העמודות, ולכן [math]\displaystyle{ a_1+\dots+a_{15} }[/math] [math]\displaystyle{ \le a_1+2a_2+4a_4+8a_8 }[/math]. מימין: בענן [math]\displaystyle{ \{2^{k-1}+1,\dots,2^k\} }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2^{k-1} }[/math] איברים, ומחליפים את כולם באיבר האחרון, הקטן ביותר, [math]\displaystyle{ a_{2^k} }[/math]. המלבן נמצא מתחת לעמודות, ולכן [math]\displaystyle{ a_2+2a_4+4a_8+8a_{16} }[/math] [math]\displaystyle{ \le a_2+\dots+a_{16} }[/math] (האיבר [math]\displaystyle{ a_1 }[/math], בקו מקווקו, אינו משתתף באי־השוויון הזה). באופן כללי, לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k\le\sum_{k=0}^{n-1}2^ka_{2^k} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}2^ka_{2^k}\le\sum_{k=2}^{2^n}a_k }[/math]. לכן אם אחד הטורים מתכנס, הסכומים החלקיים של השני חסומים, וגם הוא מתכנס (טור חיובי מתכנס אם ורק אם הסכומים החלקיים שלו חסומים).
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^a} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שאלת בוחן: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln n} }[/math] מול [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln^2n} }[/math]
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים. (א) [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} }[/math]. (ב) [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln^2n} }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ \ln^2n=(\ln n)^2 }[/math]).
הטורים מתחילים ב־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \ln1=0 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<n<n+1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0<\ln n<\ln(n+1) }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה), ולכן [math]\displaystyle{ n\ln n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n\ln^2n }[/math] חיוביות ועולות, כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1}{n\ln n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n\ln^2n} }[/math] חיוביות ומונוטוניות יורדות.
מבחן העיבוי (משפט 3.3.10) מנוסח לסדרה המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן נגדיר בכל סעיף [math]\displaystyle{ a_1=a_2 }[/math]. איבר אחד אינו משפיע על ההתכנסות (טענה 3.1.5), ועכשיו [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] ומונוטונית יורדת לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\ln n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2^k\ge2 }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] אינו מופיע בטור המעובה), ולפי [math]\displaystyle{ \ln(2^k)=k\ln2 }[/math] האיבר של הטור המעובה הוא [math]\displaystyle{ 2^ka_{2^k}=\frac{2^k}{2^k\ln(2^k)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{1}{k} }[/math].
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{1}{k} }[/math] הוא הטור ההרמוני כפול הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln2}\ne0 }[/math], ולכן מתבדר: אילו התכנס, גם הכפולה שלו ב־[math]\displaystyle{ \ln2 }[/math], כלומר הטור ההרמוני, הייתה מתכנסת (טענה 3.1.7), בסתירה למשפט 3.3.3. לפי מבחן העיבוי הטורים חברים, ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} }[/math]מתבדר.
(ב) [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\ln^2n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]. באותו חישוב [math]\displaystyle{ 2^ka_{2^k}=\frac{2^k}{2^k(k\ln2)^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{(\ln2)^2}\cdot\frac{1}{k^2} }[/math].
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} }[/math] מתכנס (הטור ההרמוני המוכלל עם [math]\displaystyle{ a=2>1 }[/math], משפט 3.3.11), ולכן גם הטור המעובה, שהוא כפולה שלו בקבוע, מתכנס (טענה 3.1.7). לפי מבחן העיבוי [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln^2n} }[/math]מתכנס.
שימו לב: בשני הטורים האיבר נבדל מ־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] רק בגורם לוגריתמי, ודווקא החזקה של הלוגריתם מכריעה. באותה דרך, לכל [math]\displaystyle{ \alpha>0 }[/math] האיבר המעובה הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{(\ln2)^\alpha}\cdot\frac{1}{k^\alpha} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^\alpha} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha>1 }[/math].
מקור: (א) מועד א' תשפ"א, 89-132 מדמ"ח (אלעד עטייא וארז שיינר), שאלה 3ב (12 נק', "קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln n} }[/math] מתכנס"), עם הפתרון הרשמי Infi1moedA2021CSSol.pdf ("מונוטונית יורדת ... ולכן אפשר להשתמש במבחן העיבוי"; W4b E5-Q3ב); דוגמה בדף הקורס בוויקי, סעיף "הטור ההרמוני המוכלל" (מופיעה גם בראש תמליל 40); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 50 (G1 E52: "חייבים להראות שהסדרה מונוטונית יורדת"); לוח תשפ"ד ל10 ע58 (R5). (ב) ו־[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]: מערך התרגול תשע"ב, טורים/מבחנים לחיוביים §מבחן העיבוי (שתי הדוגמאות, שם בטעות מ־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]) ודוגמאות/8. הגדרת [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]: תמליל 40 (UozGPSlW8fM) 06:17–06:29 (https://www.youtube.com/watch?v=UozGPSlW8fM&t=377s): "התעלמנו מ-a1 אבל זה בסדר כי מספר סופי של איברים לא משפיע". מאגר 3.3-40 (◆, ק' 2, בוחן ✓ 5 דק'; גם בחנים Q6b ש3ג, Q11 ש2ג).
דוגמה 2: טור עם פרמטר: [math]\displaystyle{ \sum t^{\ln n} }[/math] (שאלת מבחן)
(מבחן לדוגמה תשפ"א, מדמ"ח) עבור אילו ערכים של [math]\displaystyle{ t>0 }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty t^{\ln n} }[/math] מתכנס?
הרעיון: להעביר את הלוגריתם מהמעריך לבסיס. יהיו [math]\displaystyle{ t>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לפי חוקי הלוגריתמים [math]\displaystyle{ \ln\left(t^{\ln n}\right)=\ln n\cdot\ln t }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \ln\left(n^{\ln t}\right)=\ln t\cdot\ln n }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \ln }[/math] חד־חד־ערכית, ולכן [math]\displaystyle{ t^{\ln n}=n^{\ln t}=\frac{1}{n^{-\ln t}} }[/math].
כלומר זה הטור ההרמוני המוכלל [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^a} }[/math] עם החזקה הממשית [math]\displaystyle{ a=-\ln t }[/math].
לפי משפט 3.3.11 הטור מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ -\ln t>1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \ln t<-1 }[/math], כלומר (כי [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה ממש) [math]\displaystyle{ t<e^{-1}=\frac{1}{e} }[/math].
תשובה: הטור מתכנס עבור [math]\displaystyle{ 0<t<\frac{1}{e} }[/math] ומתבדר עבור [math]\displaystyle{ t\ge\frac{1}{e} }[/math]. בנקודת הגבול [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{e} }[/math] מתקבל בדיוק הטור ההרמוני: [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{e}\right)^{\ln n}=\frac{1}{n} }[/math].
בדיקת שפיות: עבור [math]\displaystyle{ t\ge1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ t^{\ln n}\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], האיבר אינו שואף לאפס והטור מתבדר; זה המקרה [math]\displaystyle{ a\le0 }[/math] במשפט.
דרך נוספת, בעיבוי ישירות: עבור [math]\displaystyle{ 0<t<1 }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ t^{\ln n} }[/math] חיובית ויורדת (כי [math]\displaystyle{ \ln n }[/math] עולה, והפונקציה [math]\displaystyle{ t^x }[/math] יורדת כאשר [math]\displaystyle{ 0<t<1 }[/math]), והאיבר המעובה הוא [math]\displaystyle{ 2^kt^{\ln(2^k)}=\left(2t^{\ln2}\right)^k }[/math], כלומר טור הנדסי שמתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ 2t^{\ln2}<1 }[/math]. אחרי הוצאת [math]\displaystyle{ \ln }[/math]: [math]\displaystyle{ \ln2\cdot(1+\ln t)<0 }[/math], כלומר שוב [math]\displaystyle{ t<\frac{1}{e} }[/math] (ועבור [math]\displaystyle{ t\ge1 }[/math] הטור מתבדר לפי בדיקת השפיות).
מקור: מבחן לדוגמה תשפ"א, 89-132 מדמ"ח (Infi1moedExmp2021CS.pdf), שאלה 3א (12 נק'; קובץ הפתרון מפנה לתרגילים 9 ו־10 בדף הדוגמאות של מערך התרגול; W4b E4-Q3א); מערך התרגול תשע"ב, טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/10 ([math]\displaystyle{ \sum|\alpha|^{\ln n} }[/math]: "נעשה e בחזקת ln", מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ |\alpha|<\frac{1}{e} }[/math]); הדרך השנייה: הפתרון של ארז למועד א' תשע"ט (צבאן וקוניאבסקי), שאלה 3ב (Infi1_tihon_2019Asol.pdf; W4a: "לפי מבחן העיבוי, הטור שלנו חבר של הטור [math]\displaystyle{ \sum2^na^{\log(2^n)} }[/math]"); מאגר 3.3-44 (◆, ק' 3–4, בוחן ½ עבור [math]\displaystyle{ t^{\ln n} }[/math]).
דוגמה 3: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\ln(k!)} }[/math]: קודם השוואה, אחר כך עיבוי
קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)} }[/math] מתכנס.
הרעיון: את [math]\displaystyle{ \ln(k!) }[/math] קשה לחשב, אבל קל לחסום. לכל [math]\displaystyle{ k\ge2 }[/math] כל גורם במכפלה קטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ k!=1\cdot2\cdots k }[/math] [math]\displaystyle{ \le k\cdot k\cdots k=k^k }[/math], וגם [math]\displaystyle{ k!\ge2>1 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה, לכל [math]\displaystyle{ k\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<\ln(k!)\le\ln(k^k) }[/math] [math]\displaystyle{ =k\ln k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(k!)}\ge\frac{1}{k\ln k}>0 }[/math].
לפי דוגמה 1(א) הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\ln k} }[/math] מתבדר (בעיבוי הוא חבר של הטור ההרמוני כפול [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln2} }[/math]).
שני הטורים חיוביים (החל מ־[math]\displaystyle{ k=2 }[/math]; האיבר הראשון אינו משפיע), והטור שלנו גדול איבר־איבר מטור מתבדר. לפי מבחן ההשוואה (מסקנה 3.3.5, "גדול ממתבדר מתבדר") הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)} }[/math]מתבדר.
למה לא עיבוי ישירות? הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(k!)} }[/math] אמנם יורדת, אבל האיבר המעובה [math]\displaystyle{ \frac{2^k}{\ln\left((2^k)!\right)} }[/math] אינו פשוט יותר מהמקורי. לכן קודם משווים לטור פשוט, ורק עליו מפעילים את מבחן העיבוי.
שימו לב לכיוון: כדי להוכיח התבדרות צריך חסם מלמטה לאיבר [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(k!)} }[/math], ולכן חסמנו את [math]\displaystyle{ \ln(k!) }[/math]מלמעלה.
מקור: דף הקורס בוויקי, סעיף "הטור ההרמוני המוכלל" (הדוגמה [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)} }[/math], מופיעה גם בראש תמליל 40, UozGPSlW8fM); לוח ההרצאה 14.12.20, 89-132 מדמ"ח תשפ"א (R2-E37, שורות 7–12, פתרון מלא של ארז: "[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\ln(k!)}\ge\sum\frac{1}{\ln(k^k)}=\sum\frac{1}{k\ln k} }[/math] ... (מותר כי הסדרה מונוטונית יורדת) ... ולכן לפי מבחן ההשוואה גם הטור המקורי שגדול יותר, מתבדר"; "מתאים לבוחן"); מאגר 3.3-42 (◆, ק' 3, בוחן ✓).
דוגמה 4: הוכיחו או הפריכו: "הכללה" של מבחן העיבוי (שאלת מבחן)
(מועד א' תשפ"א, מדמ"ח) הוכיחו או הפריכו את ההכללה הבאה של מבחן העיבוי: תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה מונוטונית עולה של מספרים טבעיים, ונניח שקיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 2^n\le b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה מונוטונית יורדת כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אם ורק אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n\cdot a_{b_n} }[/math] מתכנס.
הטענה אינה נכונה. כדאי להתחיל מדוגמה 1(א): שם [math]\displaystyle{ \ln(2^k)=k\ln2 }[/math], ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] "יצא מהלוגריתם" והתקבל הטור ההרמוני המתבדר. אם במעריך יופיע [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ n }[/math], יתקבל [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math], שמתכנס.
נגדיר [math]\displaystyle{ b_n=2^{n^2} }[/math]. אלה מספרים טבעיים, הסדרה עולה (כי [math]\displaystyle{ n^2<(n+1)^2 }[/math]), ולכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2^n\le2^{n^2}=b_n }[/math], כי [math]\displaystyle{ n\le n^2 }[/math] (ובפרט ההנחה מתקיימת עם [math]\displaystyle{ K=1 }[/math]).
נגדיר [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\ln n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]. הסדרה חיובית ומונוטונית יורדת: [math]\displaystyle{ a_2=\frac{1}{2\ln2} }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 2\ln2=\ln4>1 }[/math]), והחל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math] היא יורדת לפי דוגמה 1.
לפי דוגמה 1(א) הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math]מתבדר (האיבר הראשון אינו משפיע).
מצד שני [math]\displaystyle{ b_n\ge2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b_na_{b_n}=\frac{2^{n^2}}{2^{n^2}\ln(2^{n^2})} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{1}{n^2} }[/math].
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס (משפט 3.3.11 עם [math]\displaystyle{ a=2>1 }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_na_{b_n} }[/math]מתכנס. מצאנו סדרות שמקיימות את כל ההנחות, אבל טור אחד מתכנס והשני מתבדר, ולכן ההכללה אינה נכונה.
למה המבחן המקורי עובד וההכללה לא: מ־[math]\displaystyle{ 2^k }[/math] עד [math]\displaystyle{ 2^{k+1}-1 }[/math] יש בדיוק [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] איברים, כמו הכופל, ולכן סכום הענן נמצא בין [math]\displaystyle{ 2^ka_{2^{k+1}} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 2^ka_{2^k} }[/math]. כאן מספר האיברים מ־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] עד [math]\displaystyle{ b_{n+1}-1 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ b_{n+1}-b_n=b_n\left(2^{2n+1}-1\right) }[/math], הרבה יותר מ־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], והטור [math]\displaystyle{ \sum b_na_{b_n} }[/math] "מפספס" כמעט את כל הסכום.
מקור: מועד א' תשפ"א, 89-132 מדמ"ח (אלעד עטייא וארז שיינר, Infi1moedA2021CS.pdf), שאלה 3א (13 נק'), עם הפתרון הרשמי Infi1moedA2021CSSol.pdf ("נתחיל דווקא מסעיף ב'" ... "אם נשים משהו אחר במעריך שייתן לנו טור מתכנס – למשל n² – נקבל הפרכה", [math]\displaystyle{ b_n=2^{n^2} }[/math]); W4b E5-Q3א (ק' 4). בנוסח המקורי: "סדרה מונוטונית עולה של מספרים חיוביים כך שהחל משלב מסוים מתקיים [math]\displaystyle{ 2^n\le b_n }[/math]" ו"[math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת"; כאן "טבעיים" (כדי ש [math]\displaystyle{ a_{b_n} }[/math] יהיה מוגדר), כמת מפורש עם [math]\displaystyle{ K }[/math], ו"[math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math]" כמו במשפט 3.3.10 (הדוגמה הנגדית חיובית ממילא).
טעויות נפוצות
בלי מונוטוניות מבחן העיבוי אינו נכון, ולכן חייבים לבדוק שהסדרה יורדת לפני שמפעילים אותו: אם [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] פרט ל־[math]\displaystyle{ a_{2^k}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math], הטור המעובה הוא טור אפסים ומתכנס, אבל [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר, כי בתוספת הטור המתכנס [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} }[/math] (האיברים שהוסרו) מתקבל הטור ההרמוני.
לשכוח את הכופל [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] ולבדוק רק את [math]\displaystyle{ \sum a_{2^k} }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{2^k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} }[/math] מתכנס, אבל הטור ההרמוני מתבדר; הכופל [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] הוא מספר האיברים שה"ענן" מייצג.
לשכוח את המקרה [math]\displaystyle{ a\le0 }[/math] בטור ההרמוני המוכלל: עבור [math]\displaystyle{ a<0 }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^a} }[/math] עולה ואסור להפעיל עיבוי, אבל לכל [math]\displaystyle{ a\le0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^a}\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן האיבר אינו שואף לאפס והטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי.
"[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] מתכנס כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\to0 }[/math]": התנאי ההכרחי אינו מספיק, ולכל [math]\displaystyle{ 0<a\le1 }[/math] האיבר [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^a} }[/math] שואף לאפס ובכל זאת הטור מתבדר.
לנסות להכריע את [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^a} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1<a<2 }[/math] בהשוואה ל־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] ול־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] ("קטן ממתבדר" ו"גדול ממתכנס" אינם אומרים כלום) או במבחני המנה והשורש (הגבול שם הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a }[/math]): כאן צריך את מבחן העיבוי.
לתרגול
מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 3א: [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n\sqrt[3]{\ln n}} }[/math], עיבוי ואחריו הטור ההרמוני המוכלל (פתרון בדף). קושי 2.
מועד א' תשע"ט (תיכוניסטים) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ \sum a^{\log n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum a^{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a>0 }[/math], השוואה גבולית ועיבוי, כמו הדרך השנייה בדוגמה 2 (פתרון של ארז). קושי 3–4.
מועד א' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 3: (א) ההכללה של מבחן העיבוי מדוגמה 4, (ב) [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln n} }[/math] מדוגמה 1 (פתרון). קושי 2–4.
מבחן לדוגמה תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 3: (א) [math]\displaystyle{ \sum t^{\ln n} }[/math] מדוגמה 2, (ב) [math]\displaystyle{ \sum t^{\sqrt{n}} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ t>0 }[/math] (עיבוי ואחריו מבחן השורש; קובץ הפתרון מפנה לתרגילים 9 ו־10 במערך התרגול). קושי 3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים.
מערך תרגול: מבחן העיבוי · ניסוח המבחן ושלוש דוגמאות פתורות: [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln n} }[/math], [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n\ln^2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^\alpha} }[/math] (שם הטורים הלוגריתמיים נכתבו מ־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]; צריך להתחיל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math]). עוד תרגילים עם פתרונות: 8–10 בדף תרגילים ופתרונות לטורים חיוביים.
![שני אי־השוויונים שמהם נובע מבחן העיבוי, עבור הסדרה היורדת [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]. כל איבר מצויר כעמודה ברוחב [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובגובה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (מסגרת ירוקה), כך ששטחה הוא [math]\displaystyle{ a_n }[/math]; המלבנים התכולים הם ה"עננים" של הטור המעובה. משמאל: בענן [math]\displaystyle{ \{2^k,\dots,2^{k+1}-1\} }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] איברים, ומחליפים את כולם באיבר הראשון, הגדול ביותר, [math]\displaystyle{ a_{2^k} }[/math]. המלבן מכסה את העמודות, ולכן [math]\displaystyle{ a_1+\dots+a_{15} }[/math] [math]\displaystyle{ \le a_1+2a_2+4a_4+8a_8 }[/math]. מימין: בענן [math]\displaystyle{ \{2^{k-1}+1,\dots,2^k\} }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2^{k-1} }[/math] איברים, ומחליפים את כולם באיבר האחרון, הקטן ביותר, [math]\displaystyle{ a_{2^k} }[/math]. המלבן נמצא מתחת לעמודות, ולכן [math]\displaystyle{ a_2+2a_4+4a_8+8a_{16} }[/math] [math]\displaystyle{ \le a_2+\dots+a_{16} }[/math] (האיבר [math]\displaystyle{ a_1 }[/math], בקו מקווקו, אינו משתתף באי־השוויון הזה). באופן כללי, לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k\le\sum_{k=0}^{n-1}2^ka_{2^k} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}2^ka_{2^k}\le\sum_{k=2}^{2^n}a_k }[/math]. לכן אם אחד הטורים מתכנס, הסכומים החלקיים של השני חסומים, וגם הוא מתכנס (טור חיובי מתכנס אם ורק אם הסכומים החלקיים שלו חסומים).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-07.png)