אינפי 1/מבחן ההשוואה הגבולי לטורים
יהיו הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] ונניח ש- [math]\displaystyle{ \forall n : a_n,b_n\geq 0 }[/math] אזי
- אם [math]\displaystyle{ a_n=O(b_n) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a_n=O^* (b_n) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty }[/math]
מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש- \begin{displaymjx}a_n=O^*(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^*(a_n)\end{displaymjx} ומכל אחד מהם נובע ש- \begin{displaymjx}a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n)\end{displaymjx} מכאן שאם משפט 1 נכון ו- [math]\displaystyle{ a_n=O^* (b_n) }[/math] אז משפט 2 מתקבל ישירות
הוכחה.
\begin{displaymjx}\exists n_0 \forall n>n_0: a_n\leq M\cdot b_n\end{displaymjx} וגם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס ולכן \begin{displaymjx}\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n\end{displaymjx} והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^\infty a_n }[/math] חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n }[/math] וזה כידוע, מתכנס.
∎
יהיו הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] ונניח ש- [math]\displaystyle{ \forall n : a_n,b_n\geq 0 }[/math] וגם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L }[/math] קיים. אזי
- אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ L\neq 0 }[/math] הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס
הוכחה.
- אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז \begin{displaymjx}\exists n_0 \forall n>n_0 : \frac{a_n}{b_n}<1\end{displaymjx} ומכאן ש- [math]\displaystyle{ a_n=O(b_n) , n\to \infty }[/math]. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.
- אם [math]\displaystyle{ L\neq 0 }[/math] אז \begin{displaymjx}\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<2L\end{displaymjx} ולכן מהעברת אגפים [math]\displaystyle{ a_n=O(b_n) }[/math] . מצד שני כיוון ש- [math]\displaystyle{ L\neq 0 }[/math] אז אפשר לעשות את אותו טריק על [math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n} }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ \frac{1}{L} }[/math] ולקבל ש- [math]\displaystyle{ b_n=O(a_n) }[/math] . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.
∎
נסתכל על [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq a,b }[/math] קבועים. נראה ש- \begin{displaymjx}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a\end{displaymjx} ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.