אינפי 1/מבחן ההשוואה הראשון לטורים
יהיו שני טורים עם איברים חיוביים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n }[/math] אזי
- אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס
- אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר אז גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר
משפט 2 שקול לוגית למשפט 1 משום שמתקיים \begin{displaymjx}p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p\end{displaymjx} לכן מספיק להוכיח רק את 1
אפשר "לזרוק" את כל האיברים שבאים לפני [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] ואז אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_0}^\infty a_n }[/math] מתכנס, בוודאי גם \begin{displaymjx}a_1+a_2+\cdots + a_{n_0 - 1} + \sum_{n=n_0}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n\end{displaymjx} לכן בהוכחה נניח ש- [math]\displaystyle{ n_0=1 }[/math]
הוכחה.
נניח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס, אזי סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ B_n }[/math] חסומה (נקרא לחסם מלעיל שלה [math]\displaystyle{ M }[/math]). כעת נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים \begin{displaymjx}A_n=\sum_{k=1}^n a_k \leq \sum_{k=1}^n b_k = B_n \leq M\end{displaymjx} ולכן [math]\displaystyle{ A_n }[/math] חסומה ומכאן ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס.
∎
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} }[/math] מתבדר או מתכנס? נראה כי [math]\displaystyle{ \sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} }[/math] וכיוון שהטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} }[/math] מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.