יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ c_n }[/math] חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס.
הוכחה.
נסתכל על הסס"ח [math]\displaystyle{ S_n }[/math]. מתקיים ש- [math]\displaystyle{ S_{2m+2}=S_{2m}+c_{2m+1}-c_{2m+2} }[/math] ומשום ש- [math]\displaystyle{ c_n \searrow 0 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ S_{2m+2}\geq S_{2m} }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ S_{2n} }[/math] סדרה מונו’ עולה. בנוסף לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים ש- \begin{displaymjx}S_{2n}=c_1-c_2+c_3-c_4+\cdots -s = c_1-(c_2-c_3)-\cdots -(c_{2m-2}-c_{2m-1})-c_{2m} \leq c_1\end{displaymjx} כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי (הסדרה [math]\displaystyle{ c_n }[/math] מונו’ יורדת). מכאן ש- [math]\displaystyle{ S_{2n} }[/math] מונו’ עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. כיוון ש- [math]\displaystyle{ a_n\to L \Leftrightarrow a_{2n} \to L \land a_{2n-1} \to L }[/math], הטור מתכנס.
∎
הטור [math]\displaystyle{ 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots }[/math] מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הטור הזה נקרא טור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני.
