אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (פונקציות)

📄 דף מעודכן על הנושא: גבול פונקציה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט משפט הסנדוויץ’

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math] פונקציות כך ש- [math]\displaystyle{ f(x)\leq g(x) \leq h(x) }[/math] ונניח ש-
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x)=L }[/math] אזי קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} g(x) }[/math] וגם הוא שווה ל- [math]\displaystyle{ L }[/math]

הוכחה.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ x_n\to a , x_n \neq a }[/math] ונראה כי [math]\displaystyle{ f(x_n), h(x_n)\to L }[/math] .
כיוון ש- [math]\displaystyle{ f(x_n)\leq g(x_n)\leq h(x_n) }[/math] ממשפט הסנדוויץ’ על סדרות נובע ש- [math]\displaystyle{ g(x_n)\to L }[/math] ולכן, לפי הגדרת הגבול לפי היינה, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} g(x)=L }[/math]

∎