אינפי 1/משפט הערך הממוצע של קושי

📄 דף מעודכן על הנושא: משפט לגראנז' (אינפי): הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\in D(a,b)\cap C[a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \exists c\in (a,b) : f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) }[/math] , ואם [math]\displaystyle{ g'(c),g(b)-g(a)\neq 0 }[/math] אפשר לכתוב [math]\displaystyle{ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} }[/math] . (נשים לב שאם [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] נקבל את משפט ערך הממוצע של לגרנז’)

הוכחה.

נגדיר \begin{displaymjx}F(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)\end{displaymjx} ע"י הצבה נקבל ש- [math]\displaystyle{ F(a)=F(b)=g(b)f(a)-f(b)g(a) }[/math] וממשפט רול נובע \begin{displaymjx}\exists c : F'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)=0\end{displaymjx} מהעברת אגפים נקבל את הדרוש.

∎