אינפי 1/נגזרת של פונקציה הפוכה

📄 דף מעודכן על הנושא: נגזרת של פונקציה הופכית: arctan, arcsin, arccos: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

נניח [math]\displaystyle{ f:(a,b)\to (c,d) }[/math] הפיכה, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ f^{-1}:(c,d)\to (a,b) }[/math] . נניח ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ (f^{-1})' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math]

הוכחה.

\begin{displaymjx}(f^{-1}(f(x)))'=x'=1 \Rightarrow (f^{-1})'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=1 \Rightarrow (f^{-1})' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}\end{displaymjx}

∎

דוגמה

[math]\displaystyle{ \sin }[/math] באופן כללי לא חח"ע אבל צמצום הפונקציה אל [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] יביא פונקציה חח"ע שהיא על [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ואז ניתן להגדיר פונקציה הפוכה [math]\displaystyle{ \arcsin : [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] . מה הנגזרת שלה?

\begin{displaymjx}\arcsin'(\sin(x))=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos \arcsin(x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{displaymjx}