בקצרה: את הנגזרת של פונקציה הופכית אפשר לחשב בלי לדעת נוסחה להופכית, מתוך הנגזרת של הפונקציה המקורית: אם קוף מטפס על עץ בקצב של 6 מטרים לשנייה, אז כל מטר לוקח לו שישית שנייה, כלומר הנגזרת של ההופכית (הזמן כפונקציה של הגובה) היא אחד חלקי הנגזרת של המקורית (הגובה כפונקציה של הזמן). הדקות החשובה היא באיזו נקודה גוזרים: את הנגזרת של ההופכית בגובה מסוים מחשבים מהנגזרת של המקורית ברגע שבו הקוף היה בגובה הזה, כלומר [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} }[/math], בתנאי שהמכנה אינו אפס. מהכלל הזה, יחד עם הנגזרת של tan (טנגנס), מקבלים את הנגזרת של arctan, את הנגזרת של arcsin ואת הנגזרת של arccos: נוסחאות פשוטות שאין בהן פונקציות טריגונומטריות כלל, ושמופיעות בהמשך הקורס ובשאלות רבות במבחנים.
נגזרת של פונקציה הופכית
▶ ההרצאה: הנגזרת של פונקציה הופכית
הגרף של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] (בירוק) הוא השיקוף של הגרף של [math]\displaystyle{ \tan }[/math] (בתכלת) בישר [math]\displaystyle{ y=x }[/math] (הקו המנוקד), והנקודה [math]\displaystyle{ P=\left(\frac{\pi}{3},\sqrt{3}\right) }[/math] עוברת לנקודה [math]\displaystyle{ Q=\left(\sqrt{3},\frac{\pi}{3}\right) }[/math]. השיקוף מחליף בכל משולש שיפוע בין ההפרש בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] להפרש בציר [math]\displaystyle{ y }[/math]: למשיק ב־[math]\displaystyle{ P }[/math] שיפוע [math]\displaystyle{ \frac{4h}{h}=4 }[/math], ולמשיק ב־[math]\displaystyle{ Q }[/math] שיפוע [math]\displaystyle{ \frac{h}{4h}=\frac{1}{4} }[/math]. זו בדיוק נוסחת הנגזרת של פונקציה הופכית: [math]\displaystyle{ (\arctan)'(\sqrt{3})=\frac{1}{(\tan)'\left(\frac{\pi}{3}\right)} }[/math], כלומר בנגזרת של [math]\displaystyle{ \tan }[/math] מציבים את הנקודה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=\arctan(\sqrt{3}) }[/math], ולא את [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math].
במילים: הנגזרת של ההופכית בנקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] היא אחד חלקי הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math], לא בנקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] אלא בנקודה המתאימה [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_0) }[/math].
נגזרות של טנגנס, ארקטנגנס, ארקסינוס וארקקוסינוס
▶ ההרצאה: הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות
יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb Z }[/math]. אזי:
הפונקציה [math]\displaystyle{ \tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb R }[/math] הפיכה, וההופכית שלה נקראת [math]\displaystyle{ \arctan }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים:
גובהו של קוף על עץ (במטרים) אחרי [math]\displaystyle{ t }[/math] שניות הוא [math]\displaystyle{ f(t)=t^2 }[/math], עבור [math]\displaystyle{ 0\le t\le 4 }[/math]. (א) חשבו את [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(9) }[/math] בעזרת משפט הנגזרת של פונקציה הופכית, והסבירו את המשמעות של התוצאה. (ב) הסיקו נוסחה ל־[math]\displaystyle{ (\sqrt{y})' }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0<y<16 }[/math], והסבירו מדוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{2y} }[/math] אינה התשובה.
[math]\displaystyle{ f:[0,4]\to[0,16] }[/math] רציפה (פולינום) והפיכה: אם [math]\displaystyle{ s,t\in[0,4] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ s<t }[/math] אז [math]\displaystyle{ s^2<t^2 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ y\in[0,16] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt{y}\in[0,4] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(\sqrt{y})=y }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f^{-1}(y)=\sqrt{y} }[/math]: הרגע שבו הקוף היה בגובה [math]\displaystyle{ y }[/math].
(א) בגובה [math]\displaystyle{ 9 }[/math] הקוף היה ברגע [math]\displaystyle{ x_0=f^{-1}(9)=3 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 3\in(0,4) }[/math]. הפונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(3)=2\cdot 3=6 }[/math], שונה מאפס.
לפי המשפט [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(9)=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{6} }[/math]. כלומר בגובה 9 מטרים הקוף עולה 6 מטרים בשנייה, ולכן כל מטר לוקח לו בערך שישית שנייה.
הטעות הנפוצה היא להציב את [math]\displaystyle{ 9 }[/math] בנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\cdot 9}=\frac{1}{18} }[/math] הוא אחד חלקי [math]\displaystyle{ f'(9) }[/math], כלומר הנוסחה של קצב הטיפוס בזמן 9 שניות (רגע שאינו בכלל בתחום [math]\displaystyle{ 0\le t\le 4 }[/math]), ולא בגובה 9 מטרים.
(ב) יהי [math]\displaystyle{ 0<y<16 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x_0=\sqrt{y}\in(0,4) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(\sqrt{y})=2\sqrt{y}\ne 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (\sqrt{y})'=\frac{1}{f'(\sqrt{y})} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{y}} }[/math]. התשובה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2y} }[/math] מתקבלת מהצבת [math]\displaystyle{ y }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] בנוסחה [math]\displaystyle{ f'(t)=2t }[/math], כמו [math]\displaystyle{ \frac{1}{18} }[/math] בסעיף (א): ב־[math]\displaystyle{ y=9 }[/math] היא נותנת [math]\displaystyle{ \frac{1}{18} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]. (לכל [math]\displaystyle{ y>0 }[/math] אפשר לבחור קטע [math]\displaystyle{ [0,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b^2>y }[/math] ולקבל את אותה נוסחה.)
ב־[math]\displaystyle{ y=0 }[/math] המשפט אינו חל: [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא קצה הקטע, וגם [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math]. ואכן [math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ h>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}} }[/math], וזה שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h\to 0^+ }[/math].
מקור: הרצאה 66 (n9WMYrhb-6I): הקוף על העץ 0:06–3:48 (https://www.youtube.com/watch?v=n9WMYrhb-6I&t=6s; "הקצב הוא שישית שנייה למטר" 2:23); הדוגמה [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] בגובה תשע, כולל הטעות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2x} }[/math]: 4:00–5:33 (https://www.youtube.com/watch?v=n9WMYrhb-6I&t=240s; "זה לא אחד חלקי פעמיים כפול תשע" 4:58). מאגר ת5-037 (V66@00:24, V66@04:00, ק' 1–2, ✓ לבוחן).
דוגמה 2: שאלת מבחן: נגזרת של הופכית בלי נוסחה להופכית
(מועד ב' תש"פ, 88-132, שאלה 4) תהי [math]\displaystyle{ g(x)=x+\cos x }[/math]. נתון (אין צורך להוכיח) ש [math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע ועל מהקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] על הקטע [math]\displaystyle{ [1,\pi-1] }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f=g^{-1} }[/math] הפונקציה ההופכית, [math]\displaystyle{ f:[1,\pi-1]\to[0,\pi] }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [1,\pi-1] }[/math]. (ב) יהי [math]\displaystyle{ c=\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ f'(c) }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] (סכום של פונקציות רציפות) והפיכה ממנו על [math]\displaystyle{ [1,\pi-1] }[/math]. לפי משפט רציפות הפונקציה ההופכית, [math]\displaystyle{ f=g^{-1} }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [1,\pi-1] }[/math]. צריך לצטט את הגרסה עם הקטע: בלי הנחת הקטע, ההופכית של פונקציה רציפה והפיכה אינה בהכרח רציפה.
(ב) אין לנו נוסחה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math], אבל אנחנו יודעים איזו נקודה עוברת ל־[math]\displaystyle{ c }[/math]: [math]\displaystyle{ g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=c }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(c)=\frac{\pi}{4} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4}\in(0,\pi) }[/math].
[math]\displaystyle{ g }[/math] גזירה ו־[math]\displaystyle{ g'(x)=1-\sin x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}<1 }[/math]).
לפי משפט הנגזרת של פונקציה הופכית: [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{1}{g'\left(\frac{\pi}{4}\right)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{2}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2}=2+\sqrt{2} }[/math].
שימו לב: ב־[math]\displaystyle{ g' }[/math] מציבים את [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4}=f(c) }[/math], ולא את [math]\displaystyle{ c }[/math].
הערה: [math]\displaystyle{ g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2} }[/math], ובנקודה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] ההופכית אינה גזירה. אילו הייתה גזירה שם, גזירת הזהות [math]\displaystyle{ g(f(y))=y }[/math] לפי כלל השרשרת ב־[math]\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2} }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2} }[/math]) הייתה נותנת [math]\displaystyle{ g'\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 }[/math], אבל אגף שמאל שווה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. זו הסיבה שהמשפט דורש שהנגזרת של הפונקציה המקורית בנקודה המתאימה תהיה שונה מאפס.
מקור: מאגר ת5-036 (G4 V20B-4, ק' 3): מבחן המחלקה 88-132, תש"פ מועד ב' (עוזי וישנה), שאלה 4; בשאלה: "הוכח שהפונקציה f(y) רציפה [אפשר לפי משפט, אך יש לצטט גרסה נכונה שלו]"; התשובה ב־G4: [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} }[/math]. המבחן אינו בוויקי. ההערה על [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] היא הכיוון השני של מועד א' תשס"ב, שאלה 6 (גרסת זלצמן וקליין: ההופכית גזירה אם ורק אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)\ne0 }[/math]); גם בהרצאה 67 (7:21–7:55) המרצה מסביר שבנקודות שבהן הנגזרת של המקורית מתאפסת, ההופכית "לא הייתה אמורה להיות בכלל גזירה" (https://www.youtube.com/watch?v=sryeJtePu_U&t=441s).
דוגמה 3: שאלת בוחן: נגזרות שיוצאות פשוטות
גזרו ופשטו (בכל סעיף הנגזרת יוצאת פשוטה): (א) [math]\displaystyle{ f(x)=\tan x-x }[/math], עבור [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} }[/math]; (ב) [math]\displaystyle{ g(x)=(x^2+1)\arctan x-x }[/math], לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]; (ג) [math]\displaystyle{ h(x)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2} }[/math], עבור [math]\displaystyle{ -1<x<1 }[/math].
(א) לפי נגזרת הטנגנס והזהות [math]\displaystyle{ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1 }[/math] [math]\displaystyle{ =1+\tan^2 x-1=\tan^2 x }[/math].
(ב) לפי כלל המכפלה ונגזרת הארקטנגנס: [math]\displaystyle{ g'(x)=2x\arctan x+\frac{x^2+1}{1+x^2}-1 }[/math] [math]\displaystyle{ =2x\arctan x }[/math].
(ג) לכל [math]\displaystyle{ -1<x<1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1-x^2>0 }[/math], והשורש גזיר בכל נקודה חיובית, ולכן לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{1-x^2}\right)'=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }[/math].
לפי כלל המכפלה ונגזרת הארקסינוס: [math]\displaystyle{ h'(x)=\arcsin x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\arcsin x }[/math].
בשלושת הסעיפים חלק מהאיברים מתבטל. בבוחן זו גם בדיקה: טעות בנוסחה (למשל [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2} }[/math] בסעיף (ב)) משאירה ביטוי מסורבל.
בפרק 6 משתמשים בתוצאה של (ב): [math]\displaystyle{ g'(x)=2x\arctan x>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math], ומכאן ש [math]\displaystyle{ g }[/math] עולה ממש, למשל בשאלות מבחן על מספר הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ (x^2+1)\arctan x-x=a }[/math].
מקור: (א) נגזרת הטנגנס והזהות מטענה 5.6.2 (הרצאה 67, 1:19–3:27, https://www.youtube.com/watch?v=sryeJtePu_U&t=79s). (ב) שלב הגזירה בשאלות "פתרון יחיד לכל a" ממבחני חדו"א 1 להנדסה של ארז, משפחת המאגר ת6-088 (הווריאנט [math]\displaystyle{ (x^2+1)\arctan x-x=a }[/math]; R6a E77-B, E78-C, E79S ועוד). (ג) דוגמה שלי, באותו סגנון: בדיקה שהנגזרת של [math]\displaystyle{ x\arcsin x+\sqrt{1-x^2} }[/math] היא [math]\displaystyle{ \arcsin x }[/math].
דוגמה 4: שורש של ריבוע: [math]\displaystyle{ \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) }[/math]. (א) הראו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. (ב) חשבו את [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne\pm 1 }[/math]. (ג) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x=1 }[/math].
(א) נסמן [math]\displaystyle{ u(x)=\frac{2x}{1+x^2} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (1-|x|)^2\ge 0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 2|x|\le 1+x^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |u(x)|\le 1 }[/math], עם שוויון רק כאשר [math]\displaystyle{ |x|=1 }[/math].
(ב) לפי כלל המנה [math]\displaystyle{ u'(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x\ne\pm 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |u(x)|<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ u(x) }[/math], ולכן לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}} }[/math].
[math]\displaystyle{ 1-u(x)^2=\frac{(1+x^2)^2-4x^2}{(1+x^2)^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2} }[/math], ושורש של ריבוע הוא ערך מוחלט: [math]\displaystyle{ \sqrt{1-u(x)^2}=\frac{|1-x^2|}{1+x^2} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)|1-x^2|} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{2}{1+x^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ |x|<1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f'(x)=-\frac{2}{1+x^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math].
(ג) [math]\displaystyle{ u(1)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן כלל השרשרת אינו חל, ונבדוק לפי ההגדרה. יהי [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ \theta=\arctan x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right) }[/math]. לפי הזהות [math]\displaystyle{ \cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta} }[/math] (טענה 5.6.2): [math]\displaystyle{ \sin(2\theta)=2\tan\theta\cos^2\theta }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2x}{1+x^2} }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ 0\le x\le 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] היא ההופכית של [math]\displaystyle{ \sin }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=2\theta=2\arctan x }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x\ge 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \pi-2\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin(\pi-2\theta)=\sin(2\theta) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=\pi-2\arctan x }[/math].
מכאן [math]\displaystyle{ f(1)=\frac{\pi}{2} }[/math], ומשמאל ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (לפי הגדרת הנגזרת של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 1 }[/math]): [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2\cdot\frac{\arctan x-\frac{\pi}{4}}{x-1} }[/math] [math]\displaystyle{ \to 2\cdot\frac{1}{1+1^2}=1 }[/math], ואילו מימין המנה שווה ל־[math]\displaystyle{ -2\cdot\frac{\arctan x-\frac{\pi}{4}}{x-1}\to -1 }[/math]. הגבולות החד-צדדיים שונים, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (ובאותו אופן ב־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], כי [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-זוגית).
מקור: הסימן של השורש לפי הרצאה 67, 5:58–6:46 (https://www.youtube.com/watch?v=sryeJtePu_U&t=358s): "אם הביטוי הזה שלילי, אז הוא שווה למינוס השורש בריבוע". אותה תופעה בשאלת הגזירה של זלצמן [math]\displaystyle{ \frac{\arcsin\frac{x^2-1}{x^2+1}}{\log(1+x^2)} }[/math] (G4 Z09A ש6 = COH09A ש5; מאגר 5.3, משפחת "גזרו"), שם [math]\displaystyle{ \sqrt{1-u^2}=\frac{2|x|}{1+x^2} }[/math]. הפונקציה כאן היא וריאנט שלי, כדי לא לחזור על שאלת המבחן; התוצאה [math]\displaystyle{ f'(x)=\pm\frac{2}{1+x^2} }[/math] והזהות [math]\displaystyle{ f=2\arctan x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] אומתו ב־Python.
טעויות נפוצות
להציב את [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] בנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] במקום את [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_0) }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] זה נותן [math]\displaystyle{ (\sqrt{y})'=\frac{1}{2y} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }[/math], ובארקטנגנס [math]\displaystyle{ (\arctan x)'=\cos^2 x }[/math], במקום [math]\displaystyle{ \cos^2(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2} }[/math].
לכתוב [math]\displaystyle{ \cos(\arcsin x)=\pm\sqrt{1-x^2} }[/math] בלי לבחור סימן: הסימן הוא פלוס כי [math]\displaystyle{ \arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }[/math], ושם [math]\displaystyle{ \cos\ge 0 }[/math]. בארקקוסינוס הנימוק הוא הטווח [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] של [math]\displaystyle{ \arccos }[/math], שבו [math]\displaystyle{ \sin\ge 0 }[/math], ולא הטווח של [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math]; ובאופן כללי [math]\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a| }[/math] ולא [math]\displaystyle{ a }[/math] (דוגמה 4).
להשמיט את המינוס בנגזרת הארקקוסינוס: [math]\displaystyle{ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }[/math], כי הנגזרת של [math]\displaystyle{ \cos }[/math] היא [math]\displaystyle{ -\sin }[/math].
לטעון ש [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arccos }[/math] גזירות ב־[math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math]: הנגזרת של המקורית מתאפסת בזוויות המתאימות ([math]\displaystyle{ \cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)=0 }[/math] בארקסינוס, ו־[math]\displaystyle{ \sin 0=\sin\pi=0 }[/math] בארקקוסינוס), והמשפט דורש [math]\displaystyle{ f'(x_0)\ne 0 }[/math]. בלי התנאי הזה ההופכית אינה בהכרח גזירה: [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] הפיכה וגזירה, אבל [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{x} }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
לכתוב [math]\displaystyle{ \tan^{-1}x }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math] (בקורס לא משתמשים בסימון הזה), או לבלבל בין הפונקציה ההופכית [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] לבין [math]\displaystyle{ \frac{1}{f} }[/math].
לתרגול
מועד א' תשס"ב · שאלה 6 (גרסת זלצמן וקליין): ההופכית גזירה אם ורק אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)\ne 0 }[/math] (אמריקאית, עם פתרון בדף). קושי 2–3.
מבחן דמה תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 4: [math]\displaystyle{ \arctan x+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], בעזרת הנגזרת של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] (וגם פרק 6) (פתרון). קושי 1–2.
מועד ב' תשנ"ו · שאלה 6ב: הנגזרת של [math]\displaystyle{ \arctan\left(\frac{\ln x}{1+x^2}\right) }[/math]. בפתרון שבדף יש טעות: במונה צריך [math]\displaystyle{ 2x^2\ln x }[/math] ולא [math]\displaystyle{ 4x^2\ln x }[/math]. קושי 1–2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
מערך תרגול: גזירות · הסעיף "אריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות", ובסופו נוסחת הנגזרת של הפונקציה ההופכית.
![הגרף של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] (בירוק) הוא השיקוף של הגרף של [math]\displaystyle{ \tan }[/math] (בתכלת) בישר [math]\displaystyle{ y=x }[/math] (הקו המנוקד), והנקודה [math]\displaystyle{ P=\left(\frac{\pi}{3},\sqrt{3}\right) }[/math] עוברת לנקודה [math]\displaystyle{ Q=\left(\sqrt{3},\frac{\pi}{3}\right) }[/math]. השיקוף מחליף בכל משולש שיפוע בין ההפרש בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] להפרש בציר [math]\displaystyle{ y }[/math]: למשיק ב־[math]\displaystyle{ P }[/math] שיפוע [math]\displaystyle{ \frac{4h}{h}=4 }[/math], ולמשיק ב־[math]\displaystyle{ Q }[/math] שיפוע [math]\displaystyle{ \frac{h}{4h}=\frac{1}{4} }[/math]. זו בדיוק נוסחת הנגזרת של פונקציה הופכית: [math]\displaystyle{ (\arctan)'(\sqrt{3})=\frac{1}{(\tan)'\left(\frac{\pi}{3}\right)} }[/math], כלומר בנגזרת של [math]\displaystyle{ \tan }[/math] מציבים את הנקודה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=\arctan(\sqrt{3}) }[/math], ולא את [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c5-06m.png)
