בקצרה:חוקי גזירה (נקראים גם כללי גזירה או חוקי נגזרות) מאפשרים לגזור כל פונקציה שבנויה מפונקציות מוכרות, בלי לחשב בכל פעם מחדש את גבול שיפועי המיתרים: קבוע יוצא מהנגזרת, הנגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, ונגזרת של מכפלה היא "גזור שמור ועוד שמור גזור" (ולא מכפלת הנגזרות). נגזרת של מנה (נגזרת של שבר) היא "גזור שמור פחות שמור גזור, חלקי המכנה בריבוע", בנקודה שבה המכנה אינו מתאפס. כלל השרשרת (נגזרת של פונקציה מורכבת, כלומר של הרכבה) אומר שגוזרים את הפונקציה החיצונית בערך של הפנימית, וכופלים בנגזרת של הפנימית: [math]\displaystyle{ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) }[/math]. כל הכללים מוכחים מהגדרת הנגזרת, וכל אחד מהם דורש שהפונקציות יהיו גזירות בנקודות המתאימות.
סכום, מכפלה וכלל השרשרת
▶ ההרצאה: נגזרת של סכום ומכפלת פונקציות
▶ ההרצאה: נגזרת של הרכבה
כלל המכפלה כשטח. אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math] הם אורכי הצלעות של מלבן, השטח שלו הוא [math]\displaystyle{ f(x)\,g(x) }[/math] (המלבן המודגש). כשעוברים מ־[math]\displaystyle{ x }[/math] ל־[math]\displaystyle{ x+h }[/math], הצלעות גדלות ב־[math]\displaystyle{ \Delta f=f(x+h)-f(x) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ \Delta g=g(x+h)-g(x) }[/math], והשטח שנוסף מתחלק לשלושה חלקים: [math]\displaystyle{ g(x)\,\Delta f }[/math] (הרצועה הימנית), [math]\displaystyle{ f(x)\,\Delta g }[/math] (הרצועה העליונה) והפינה הקטנה [math]\displaystyle{ \Delta f\,\Delta g }[/math]. מחלקים ב־[math]\displaystyle{ h }[/math] ומשאיפים את [math]\displaystyle{ h }[/math] לאפס: [math]\displaystyle{ \frac{\Delta f}{h}\to f'(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\Delta g}{h}\to g'(x) }[/math], והפינה נעלמת, כי [math]\displaystyle{ \frac{\Delta f}{h}\,\Delta g\to f'(x)\cdot 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], כי היא גזירה בה). כך מתקבל "גזור שמור ועוד שמור גזור". בהוכחה בסרטון הפינה מצורפת לרצועה העליונה: [math]\displaystyle{ f(x+h)\,\Delta g=f(x)\,\Delta g+\Delta f\,\Delta g }[/math]. בציור הפונקציות חיוביות ו־[math]\displaystyle{ \Delta f,\Delta g>0 }[/math], אבל החשבון שבצד ימין של הציור נכון לכל שתי פונקציות הגזירות ב־[math]\displaystyle{ x }[/math].
דוגמה 1: גזור שמור ועוד שמור גזור: [math]\displaystyle{ x^2\cos x+\ln(4x) }[/math]
חשבו את הנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2\cos x+\ln(4x) }[/math] בכל נקודה [math]\displaystyle{ x>0 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] היא סכום של שני מחוברים. אם כל אחד מהם גזיר ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], אזי גם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], והנגזרת שלה היא סכום הנגזרות.
המחובר הראשון הוא מכפלה של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos x }[/math], ששתיהן גזירות בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], עם [math]\displaystyle{ (x^2)'=2x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (\cos x)'=-\sin x }[/math]. לפי כלל המכפלה (גזור שמור ועוד שמור גזור): [math]\displaystyle{ (x^2\cos x)' }[/math] [math]\displaystyle{ =2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x) }[/math] [math]\displaystyle{ =2x\cos x-x^2\sin x }[/math].
המחובר השני הוא הרכבה: הפנימית היא [math]\displaystyle{ g(x)=4x }[/math], עם [math]\displaystyle{ g'(x)=4 }[/math], והחיצונית היא [math]\displaystyle{ \ln }[/math], שגזירה בכל [math]\displaystyle{ y>0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ (\ln y)'=\frac{1}{y} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ g(x)=4x>0 }[/math], ולכן לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ (\ln(4x))'=\frac{1}{4x}\cdot 4=\frac{1}{x} }[/math].
סך הכול, לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x+\frac{1}{x} }[/math].
בדיקה: [math]\displaystyle{ \ln(4x)=\ln 4+\ln x }[/math], והנגזרת של הקבוע [math]\displaystyle{ \ln 4 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן שוב [math]\displaystyle{ (\ln(4x))'=\frac{1}{x} }[/math]. לעומת זאת, "מכפלת הנגזרות" [math]\displaystyle{ 2x\cdot(-\sin x) }[/math] היא טעות: ב־[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] היא נותנת [math]\displaystyle{ 0 }[/math], והנגזרת הנכונה של [math]\displaystyle{ x^2\cos x }[/math] שם היא [math]\displaystyle{ -2\pi }[/math].
מקור: מאגר ת5-026, הנוסח הראשי ("גזרו", ק' 1–2, מתאים לבוחן: 2–3 דקות לפונקציה): המופע [math]\displaystyle{ x^2\cos x+\ln(4x) }[/math] מתוכנית XI של ארז, שאלה X89 (G3) = R6c XI7.3, עם תשובה ב־XI. "גזור שמור ועוד שמור גזור": תמליל 62 (iiF0siIWius) 07:17 (t=437s).
דוגמה 2: הדוגמה מהסרטון: [math]\displaystyle{ 0.5^{\sin x} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ h(x)=0.5^{\sin x} }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ h'(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], ואת [math]\displaystyle{ h'(\pi) }[/math]. באיזו נקודה גוזרים את הפונקציה החיצונית כאשר [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math]?
מזהים את שתי הפעולות לפי הסדר שבו הן פועלות על [math]\displaystyle{ x }[/math]. הראשונה (הפנימית) היא [math]\displaystyle{ g(x)=\sin x }[/math], ועל התוצאה שלה פועלת החיצונית [math]\displaystyle{ f(y)=0.5^{y} }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ h=f\circ g }[/math] (בסרטון: [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] הוא הגובה של המטפס בזמן [math]\displaystyle{ x }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0.5 }[/math] בחזקת הגובה הוא לחץ החמצן).
שתיהן גזירות בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]: [math]\displaystyle{ g'(x)=\cos x }[/math], ולפי נגזרת האקספוננט [math]\displaystyle{ (a^y)'=a^y\ln a }[/math] עם [math]\displaystyle{ a=0.5 }[/math] (משפט 5.2.4 דורש [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a\ne 1 }[/math], וזה מתקיים) מתקיים [math]\displaystyle{ f'(y)=0.5^{y}\ln 0.5 }[/math].
לפי כלל השרשרת, לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]: [math]\displaystyle{ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) }[/math] [math]\displaystyle{ =0.5^{\sin x}\cdot\ln 0.5\cdot\cos x }[/math]. את החיצונית גוזרים בנקודה [math]\displaystyle{ g(x)=\sin x }[/math], ולא בנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math]: מציבים את הפנימית בנגזרת של החיצונית, וכופלים בנגזרת של הפנימית.
ב־[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] הפנימית נותנת [math]\displaystyle{ g(\pi)=\sin\pi=0 }[/math], ולכן את [math]\displaystyle{ f }[/math] גוזרים בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(0)=0.5^{0}\ln 0.5=\ln 0.5 }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ g'(\pi)=\cos\pi=-1 }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ h'(\pi)=\ln 0.5\cdot(-1)=\ln 2 }[/math], כלומר בערך [math]\displaystyle{ 0.69 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln 0.5=-\ln 2 }[/math]).
דוגמה 3: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ (f\circ f\circ f)'(0) }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb R\to\mathbb R }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=2 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ (f\circ f\circ f)'(0) }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ g=f\circ f }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\circ f\circ f=f\circ g }[/math], ונפעיל את כלל השרשרת פעמיים. בכל פעם בודקים איפה צריך לגזור את החיצונית: בערך של הפנימית.
הנגזרת של [math]\displaystyle{ g }[/math]. הפנימית [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והחיצונית [math]\displaystyle{ f }[/math] צריכה להיות גזירה ב־[math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math], וגם זה נתון. לכן [math]\displaystyle{ g }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ g'(0)=f'(f(0))\cdot f'(0) }[/math] [math]\displaystyle{ =f'(0)\cdot f'(0)=4 }[/math].
כמו כן [math]\displaystyle{ g(0)=f(f(0))=f(0) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ g(0)=0 }[/math].
הנגזרת של [math]\displaystyle{ f\circ g }[/math].[math]\displaystyle{ g }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ g(0)=0 }[/math]. לכן לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ (f\circ g)'(0)=f'(g(0))\cdot g'(0) }[/math] [math]\displaystyle{ =f'(0)\cdot 4=8 }[/math].
שימו לב: התשובה [math]\displaystyle{ f'(0)^3 }[/math] נכונה כאן רק כי [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math], ולכן את [math]\displaystyle{ f }[/math] גוזרים בכל פעם ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. באופן כללי, אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודות [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(f(x_0)) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ (f\circ f\circ f)'(x_0) }[/math] שווה ל־ [math]\displaystyle{ f'(f(f(x_0)))\cdot f'(f(x_0))\cdot f'(x_0) }[/math].
מקור: מבחן מועד ב' תשס"ג (מתמטיקה), שאלה 11, עם פתרון בוויקי (הדף "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,"; שם גם הבדיקה עם [math]\displaystyle{ 2x }[/math]). נוסח השאלה משוחזר מהפתרון (במאגר: "משוחזר"), וההנחה "גזירה ב־0" היא ההנחה המינימלית שמאפשרת את החישוב. מאגר ת5-028, "יישומי כלל השרשרת" (W5b Q121 = G4 SGB-11, ק' 1–2, מתאים לבוחן). "איפה גוזרים את החיצונית?": תמליל 63 (uMPXs9PwxZ4) 08:21–08:37 (t=501s).
דוגמה 4: משיק לגרף של מנה
מצאו את משוואת המשיק לגרף של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1+x\cos x}{x+2} }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math].
נכתוב [math]\displaystyle{ f=\frac{u}{v} }[/math], עם [math]\displaystyle{ u(x)=1+x\cos x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ v(x)=x+2 }[/math]. שתיהן גזירות בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] (את [math]\displaystyle{ u }[/math] גוזרים לפי כלל הסכום וכלל המכפלה), ו־[math]\displaystyle{ v(0)=2\ne 0 }[/math]. לכן לפי כלל המנה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ u'(x)=\cos x-x\sin x }[/math] (גזור שמור ועוד שמור גזור עבור [math]\displaystyle{ x\cos x }[/math]; הנגזרת של הקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ v'(x)=1 }[/math].
לפי כלל המנה (גזור שמור פחות שמור גזור, חלקי המכנה בריבוע): [math]\displaystyle{ f'(0)=\frac{u'(0)v(0)-v'(0)u(0)}{v^2(0)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1\cdot 2-1\cdot 1}{2^2}=\frac{1}{4} }[/math].
[math]\displaystyle{ f(0)=\frac{u(0)}{v(0)}=\frac{1}{2} }[/math]. לפי משוואת המשיק [math]\displaystyle{ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) }[/math] (מסקנה 5.1.3), המשיק הוא [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2} }[/math].
שימו לב לסדר במונה: [math]\displaystyle{ u'v-v'u }[/math]. בסדר ההפוך, [math]\displaystyle{ uv'-u'v }[/math], היינו מקבלים שיפוע [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math], כלומר משיק יורד במקום עולה.
מקור: מבחן מועד א' תשס"ב (מתמטיקה), שאלה 7, עם פתרון בוויקי (הדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,": שם גוזרים בכל [math]\displaystyle{ x\ne-2 }[/math] ומציבים [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ומקבלים אותה תשובה). מאגר ת5-047, משפחת "משיק" (ק' 1, מתאים לבוחן). נוסח כלל המנה: תמליל 65 (Iag0TdjdFnM) 00:43 (t=43s), "גזור שמור פחות שמור גזור חלקי המכנה בריבוע".
טעויות נפוצות
לגזור מכפלה כמכפלת הנגזרות, [math]\displaystyle{ (fg)'=f'g' }[/math]: כבר עבור [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)=x }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ 1\cdot 1=1 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ (x^2)'=2x }[/math]. הנגזרת של מכפלה היא "גזור שמור ועוד שמור גזור".
בכלל המנה להפוך את הסדר במונה ([math]\displaystyle{ fg'-f'g }[/math] במקום [math]\displaystyle{ f'g-fg' }[/math]), מה שמחליף את סימן התוצאה, או להשמיט את התנאי [math]\displaystyle{ g(x_0)\ne 0 }[/math]: בנקודה שבה המכנה מתאפס הכלל אינו אומר דבר.
בכלל השרשרת לגזור את החיצונית בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] במקום ב־[math]\displaystyle{ g(x_0) }[/math] (למשל לכתוב [math]\displaystyle{ 0.5^{x}\ln 0.5\cdot\cos x }[/math] כנגזרת של [math]\displaystyle{ 0.5^{\sin x} }[/math]), או לשכוח לכפול בנגזרת של הפנימית; בסרטון, 04:50: "איפה גוזרים?".
להפעיל את כלל השרשרת כשהחיצונית אינה גזירה בערך של הפנימית, ולהסיק מכך שהפונקציה אינה גזירה: [math]\displaystyle{ \sqrt{x^4}=x^2 }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אף שהנוסחה [math]\displaystyle{ \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4}} }[/math] אינה מוגדרת שם ([math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ y=0 }[/math]); בנקודה כזו גוזרים לפי ההגדרה: [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{h^4}-0}{h}=h\to 0 }[/math].
בהוכחות: בכלל המכפלה לא לנמק ש [math]\displaystyle{ f(x)\to f(x_0) }[/math] (זו רציפות, שנובעת מגזירות לפי משפט 5.1.4), ובכלל השרשרת לכפול ולחלק ב־[math]\displaystyle{ g(x)-g(x_0) }[/math] בלי לטפל במקרה שבו הוא מתאפס (בסרטון, 15:08).
לתרגול
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 3א: לגזור את [math]\displaystyle{ \sin(\log\lvert x\rvert) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math], כלל השרשרת פעמיים (פתרון). קושי 1–2.
מועד ב' תשס"ג · שאלה 11: [math]\displaystyle{ (f\circ f\circ f)'(0) }[/math] בכלל השרשרת, הדוגמה השלישית בדף (עם פתרון). קושי 1–2.
מועד א' תשס"ב · שאלה 7: משיק לגרף של מנה בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], הדוגמה הרביעית בדף (עם פתרון). קושי 1.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות
מערך תרגול: חוקי הגזירה · רשימת חוקי הגזירה במערך התרגול: כפל בקבוע, סכום, מכפלה, מנה והרכבה, וגם חזקה משתנה ופונקציה הופכית
תרגול 12 של לואי ומני · עמ' 2: הנגזרת של [math]\displaystyle{ x^{\sin x} }[/math] (כותבים [math]\displaystyle{ e^{\sin x\ln x} }[/math], ואז כלל השרשרת וכלל המכפלה); עם פתרון.
![כלל המכפלה כשטח. אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math] הם אורכי הצלעות של מלבן, השטח שלו הוא [math]\displaystyle{ f(x)\,g(x) }[/math] (המלבן המודגש). כשעוברים מ־[math]\displaystyle{ x }[/math] ל־[math]\displaystyle{ x+h }[/math], הצלעות גדלות ב־[math]\displaystyle{ \Delta f=f(x+h)-f(x) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ \Delta g=g(x+h)-g(x) }[/math], והשטח שנוסף מתחלק לשלושה חלקים: [math]\displaystyle{ g(x)\,\Delta f }[/math] (הרצועה הימנית), [math]\displaystyle{ f(x)\,\Delta g }[/math] (הרצועה העליונה) והפינה הקטנה [math]\displaystyle{ \Delta f\,\Delta g }[/math]. מחלקים ב־[math]\displaystyle{ h }[/math] ומשאיפים את [math]\displaystyle{ h }[/math] לאפס: [math]\displaystyle{ \frac{\Delta f}{h}\to f'(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\Delta g}{h}\to g'(x) }[/math], והפינה נעלמת, כי [math]\displaystyle{ \frac{\Delta f}{h}\,\Delta g\to f'(x)\cdot 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], כי היא גזירה בה). כך מתקבל "גזור שמור ועוד שמור גזור". בהוכחה בסרטון הפינה מצורפת לרצועה העליונה: [math]\displaystyle{ f(x+h)\,\Delta g=f(x)\,\Delta g+\Delta f\,\Delta g }[/math]. בציור הפונקציות חיוביות ו־[math]\displaystyle{ \Delta f,\Delta g>0 }[/math], אבל החשבון שבצד ימין של הציור נכון לכל שתי פונקציות הגזירות ב־[math]\displaystyle{ x }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c5-03m.png)
