בקצרה:טבלת נגזרות מרכזת את הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות, ויחד עם חוקי הגזירה היא מאפשרת לגזור כל פונקציה שבנויה מהן: הנגזרת של סינוס היא קוסינוס, הנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, הנגזרת של ln היא אחד חלקי x, והנגזרת של e בחזקת x היא שוב e בחזקת x. בקורס לא מקבלים את הטבלה כמובנת מאליה: כל שורה בה מוכחת לפי הגדרת הנגזרת, כגבול של שיפועי מיתרים, בעזרת כמה גבולות יסודיים, כמו הגבול של סינוס x חלקי x באפס. הנגזרת של חזקה, [math]\displaystyle{ (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1} }[/math], נכונה לכל מעריך ממשי כשהמשתנה חיובי, וממנה מקבלים גם את הנגזרת של שורש; בנקודה אפס ובמספרים השליליים צריך זהירות (למשל, השורש הריבועי אינו גזיר באפס), וטעות נפוצה היא לגזור אקספוננט, שבו המשתנה במעריך, כאילו היה חזקה, שבה המשתנה בבסיס.
טבלת נגזרות בסיסיות
פונקציה
נגזרת
הערות
[math]\displaystyle{ c }[/math] (קבוע)
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ nx^{n-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]
[math]\displaystyle{ x^\alpha }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ x>0 }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb R }[/math] (הוכחה)
[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x>0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{x^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x\ln(a) }[/math]
[math]\displaystyle{ a>0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ a^x=e^{x\ln(a)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ x>0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \ln|x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ -\sin(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2(x)} }[/math]
[math]\displaystyle{ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k }[/math]
ההוכחות של הנגזרות של [math]\displaystyle{ \sin }[/math], [math]\displaystyle{ \cos }[/math], [math]\displaystyle{ \ln }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^x }[/math] מופיעות בהמשך הדף, וגם של חזקה ושל שורש. את [math]\displaystyle{ \tan }[/math], [math]\displaystyle{ \arctan }[/math], [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arccos }[/math] גוזרים בדף נגזרת של פונקציה הופכית. נגזרות של מכפלה, מנה והרכבה, ומהן [math]\displaystyle{ a^x }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \ln|x| }[/math], נמצאות בדף חוקי גזירה. דף נוסחאות להדפסה: נגזרות (PDF).
נגזרות של סינוס, קוסינוס, לוגריתם ואקספוננט
▶ ההרצאה: גבולות יסודיים
▶ ההרצאה: הנגזרת של סינוס, לוג ואקספוננט
הנגזרת של סינוס היא קוסינוס. למעלה: הגרף של [math]\displaystyle{ y=\sin x }[/math] (ירוק) והמשיקים לו (כחול) בנקודות [math]\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi }[/math], ולצד כל משיק השיפוע שלו [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ 1,0,-1,0,1 }[/math]. למטה: הגרף של [math]\displaystyle{ y=\cos x }[/math], והעיגולים הכחולים עליו נמצאים בדיוק בגובה השיפועים האלה (הקווים המנוקדים מחברים כל נקודת השקה לעיגול שמתחתיה). כשהסינוס עולה הקוסינוס חיובי, בשיא ובשפל של הסינוס המשיק אופקי והקוסינוס מתאפס, וכשהסינוס יורד הקוסינוס שלילי. השיפוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא בדיוק הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha }[/math]. לפי משפט 5.4.1, לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} }[/math].
בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math]:
(א) אם [math]\displaystyle{ \alpha<0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
(ג) אם [math]\displaystyle{ \alpha>0 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ h>0 }[/math] שיפוע המיתר מימין הוא [math]\displaystyle{ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^\alpha-0}{h}=h^{\alpha-1} }[/math], ולכן:
אם [math]\displaystyle{ 0<\alpha<1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0^+}h^{\alpha-1}=\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=1 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \alpha>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה של [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \alpha>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] אינו שלם, אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת באף נקודה [math]\displaystyle{ x<0 }[/math], ולכן גבול שיפועי המיתרים הדו-צדדי ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו מוגדר.
[math]\displaystyle{ \Big(\frac{1}{x}\Big)'=(x^{-1})'=-\frac{1}{x^2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math].
[math]\displaystyle{ (\sqrt[3]{x})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שאלת בוחן: הנגזרת של קוסינוס לפי ההגדרה
הוכיחו לפי הגדרת הנגזרת שלכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (\cos x)'=-\sin x }[/math]. מותר להשתמש בגבול [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 }[/math], ברציפות של [math]\displaystyle{ \sin }[/math] ושל [math]\displaystyle{ \cos }[/math] ובנוסחאות סכום הזוויות.
יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. נחשב את גבול שיפועי המיתרים כש [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math]. המונה והמכנה שואפים שניהם ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן נפתח את [math]\displaystyle{ \cos(x+h) }[/math] לפי נוסחת הקוסינוס של סכום (טענה 4.4.3). לכל [math]\displaystyle{ h\ne0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h} }[/math].
הגבול היסודי מהסרטון "גבולות יסודיים" (כפל בצמוד): לכל [math]\displaystyle{ 0<|h|<\pi }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1+\cos h>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1-\cos h}{h}=\frac{1-\cos^2 h}{h(1+\cos h)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin h\cdot\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{1+\cos h} }[/math] [math]\displaystyle{ \to0\cdot1\cdot\frac{1}{2}=0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \sin h\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos h\to1 }[/math]. לכן גם [math]\displaystyle{ \frac{\cos h-1}{h}\to-0=0 }[/math].
כש [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math], הביטויים [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin x }[/math] קבועים ([math]\displaystyle{ x }[/math] קבוע), [math]\displaystyle{ \frac{\cos h-1}{h}\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\sin h}{h}\to1 }[/math]. לפי אריתמטיקה של גבולות, שיפועי המיתרים שואפים ל־[math]\displaystyle{ \cos x\cdot0-\sin x\cdot1=-\sin x }[/math].
הגבול קיים וסופי, ולכן [math]\displaystyle{ \cos }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (\cos x)'=-\sin x }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] היה כלשהו, זה נכון לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].
דרך נוספת, בעזרת כלל השרשרת ומשפט 5.2.1: לפי טענה 4.4.3, יחד עם [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2}=0 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x }[/math]. הפונקציה הפנימית [math]\displaystyle{ x+\frac{\pi}{2} }[/math] גזירה ונגזרתה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sin }[/math] גזירה בכל נקודה, ולכן לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ (\cos x)'=\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)' }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\cdot1 }[/math] [math]\displaystyle{ =-\sin x }[/math].
מקור: פריט 5.2.2 (רעיון ההוכחה: "תרגיל לבית: כמו 5.10 עם נוסחת קוסינוס של סכום, או cos x=sin(x+π/2) וכלל השרשרת"); מאגר ת5-002 (ש"ב HW-A A12.2a = B12.1a, ק' 2, בוחן ✓, "לא נעשה בסרטונים") ות5-001 ("Prove that (sin x)'=cos x"; R6a: "מצוין לבוחן"); המבנה לפי הוכחת הנגזרת של סינוס בתמליל 61 (NkPt_CFvuhY) 02:45–04:25 (t=165s), כולל 04:04 (t=244s): "זה אמנם המינוס של 1 פחות קוסינוס h חלקי h שלמדנו אבל מינוס 0 גם הוא 0"; הגבול (1−cos h)/h→0 בכפל בצמוד מתמליל 60 (pBYSLhpsz9g) 00:33–02:33 (t=33s); דף הקורס בוויקי (rev 90835), סעיף "הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות": "באופן דומה (cos(x))'=-sin(x)".
דוגמה 2: אקספוננט מול חזקה: [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x^2 }[/math], ומה מיוחד ב־[math]\displaystyle{ e }[/math]
(א) חשבו את [math]\displaystyle{ (2^x)' }[/math] ואת [math]\displaystyle{ (x^2)' }[/math]. סטודנט כתב [math]\displaystyle{ (2^x)'=x\cdot2^{x-1} }[/math]; הראו שהתשובה שלו שגויה כבר בנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. (ב) יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne1 }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ (a^x)'=a^x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=e }[/math]. (ג) יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne1 }[/math]. הסיקו מ־[math]\displaystyle{ (\ln x)'=\frac{1}{x} }[/math] את הנגזרת של [math]\displaystyle{ \log_a x }[/math], וחשבו את [math]\displaystyle{ (\log_{10}x)' }[/math].
(א) ב־[math]\displaystyle{ 2^x }[/math] הקבוע הוא הבסיס והמשתנה במעריך, כלומר זה אקספוננט, ולפי משפט 5.2.4 עם [math]\displaystyle{ a=2 }[/math], לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (2^x)'=2^x\ln 2 }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] הקבוע הוא המעריך, כלומר זו חזקה, ולפי טענה 5.2.5 מתקיים [math]\displaystyle{ (x^2)'=2x }[/math].
בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הנגזרת של [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] היא [math]\displaystyle{ 2^0\ln 2=\ln 2\approx0.69 }[/math], ואילו הנוסחה של הסטודנט נותנת [math]\displaystyle{ 0\cdot2^{-1}=0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \ln 2\ne0 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 2\ne1 }[/math]), התשובה שגויה: הסטודנט גזר אקספוננט כאילו היה חזקה.
(ב) לפי משפט 5.2.4, לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a^x)'=a^x\ln a }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a=e }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \ln e=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (e^x)'=e^x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. להפך, אם [math]\displaystyle{ a^x\ln a=a^x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], נציב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \ln a=1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a=e }[/math].
במילים: השיפוע של הגרף של [math]\displaystyle{ a^x }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ln a }[/math], ו־[math]\displaystyle{ e }[/math] הוא הבסיס היחיד שבו השיפוע הזה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ a=2 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ln 2\approx0.69 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ a=3 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ln 3\approx1.10 }[/math]).
(ג) לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], לפי החלפת בסיס, [math]\displaystyle{ \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a} }[/math] הוא קבוע ([math]\displaystyle{ \ln a\ne0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ a\ne1 }[/math]). לפי כפל בקבוע: [math]\displaystyle{ (\log_a x)'=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{x\ln a} }[/math], כמו במשפט 5.2.3. בפרט [math]\displaystyle{ (\log_{10}x)'=\frac{1}{x\ln 10}\approx\frac{0.434}{x} }[/math], והנגזרת היא [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] רק עבור הבסיס [math]\displaystyle{ e }[/math].
מקור: תמליל 64 (UQnqIRrf12E) 02:01–02:51 (t=121s): "ראינו שהנגזרת של 2 בx היא 2 בx ln 2", "אסור לנו להוריד את החזקה ולהוריד אחד מהחזקה, זה ממש לא נכון", "אם הקבוע הוא בבסיס החזקה, אזי זה אקספוננט"; תמליל 61 (NkPt_CFvuhY) 10:01–10:28 (t=601s): "הקבוע היחיד עבורו הנגזרת של a ב-x נשארת a ב-x ... המספר e", ו־07:51–08:17 (t=471s): החלפת בסיס הלוג ל־ln; הערות הטעויות בפריטים 5.2.3 ו־5.2.4; מאגר ת5-027 (V64@02:01, ק' 1, בוחן ✓).
דוגמה 3: שאלת מבחן: הנגזרת של [math]\displaystyle{ x^x }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^x }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], מצאו את [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math], ומצאו את הנקודה שבה המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] אופקי.
הפונקציה [math]\displaystyle{ x^x }[/math] אינה חזקה (המעריך אינו קבוע) וגם אינה אקספוננט (הבסיס אינו קבוע), ולכן אף שורה בטבלה אינה מתאימה לה ישירות. נשתמש ב"טריק [math]\displaystyle{ e }[/math] בחזקת [math]\displaystyle{ \ln }[/math]" מהסרטון.
יהי [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. לפי חוקי לוגים [math]\displaystyle{ x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x\ln x} }[/math]. כאן חשוב ש [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]: את [math]\displaystyle{ 0 }[/math] או מספר שלילי אסור להציב ב־[math]\displaystyle{ \ln }[/math].
הפונקציה הפנימית [math]\displaystyle{ g(x)=x\ln x }[/math] גזירה לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] לפי כלל המכפלה: [math]\displaystyle{ g'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ =\ln x+1 }[/math].
הפונקציה החיצונית [math]\displaystyle{ e^t }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ונגזרתה [math]\displaystyle{ e^t }[/math] (משפט 5.2.4). לפי כלל השרשרת: [math]\displaystyle{ (x^x)'=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1) }[/math] [math]\displaystyle{ =x^x(\ln x+1) }[/math].
המשיק אופקי אם ורק אם [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ x^x>0 }[/math], זה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ln x=-1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{e} }[/math]. הנקודה על הגרף היא [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{e},e^{-\frac{1}{e}}\right) }[/math], כי [math]\displaystyle{ f(x)=e^{x\ln x} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \ln\frac{1}{e}=-1 }[/math].
שימו לב: גזירה "כחזקה" נותנת [math]\displaystyle{ x\cdot x^{x-1}=x^x }[/math], וגזירה "כאקספוננט" נותנת [math]\displaystyle{ x^x\ln x }[/math]. שתיהן שגויות, והתשובה הנכונה היא הסכום שלהן. למשל ב־[math]\displaystyle{ x=e }[/math] כל אחת מהן נותנת [math]\displaystyle{ e^e }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ f'(e)=e^e(1+1)=2e^e }[/math].
מקור: תמליל 64 (UQnqIRrf12E) 03:28–03:52 (t=208s): "נשתמש בטריק אי בלן ... בין היתר זה יעבוד גם אם נרצה לגזור את איקס בחזקת איקס, תנסו את זה כתרגיל", והוכחת 5.4.1 באותה דרך 03:03–05:44; דף הקורס בוויקי (rev 90835), סעיף "נגזרת של חזקה": "דוגמא: חישוב הנגזרת של x^x"; מאגר ת5-032 (ק' 1, בוחן ✓); מבחנים: מועד ב' תשע"ח (תיכוניסטים) שאלה 3 (W5c S5: "היכן גזירה ומה הנגזרת"), מועד א' תשפ"ה (צבאן) שאלה 3ב (W5a T85A). המשיק האופקי ב־1/e וההערה על סכום שתי התשובות השגויות נוספו לדף (חישוב שלי, אומת ב־sympy).
דוגמה 4: נגזרת של שורש גם בשליליים ובאפס: [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{x^4} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{x^4} }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. (א) חשבו את [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. (ב) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ x<0 }[/math], ומצאו את [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]. (ג) האם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]? השוו לפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{x} }[/math].
(א) לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^{\frac{4}{3}} }[/math], ולפי משפט 5.4.1 עם [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{4}{3} }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{4}{3}\sqrt[3]{x} }[/math].
(ב) עבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] אסור לכתוב [math]\displaystyle{ x^{\frac{4}{3}} }[/math] (חזקה ממשית מוגדרת רק לבסיס חיובי), ולכן נשתמש בזוגיות, כמו בסרטון. לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(-x)=\sqrt[3]{(-x)^4} }[/math] [math]\displaystyle{ =\sqrt[3]{x^4}=f(x) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית.
יהי [math]\displaystyle{ x<0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ -x>0 }[/math], ולפי (א) הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ -x }[/math]. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(t)=f(-t) }[/math] היא הרכבה של [math]\displaystyle{ -t }[/math] (שנגזרתה [math]\displaystyle{ -1 }[/math]) עם [math]\displaystyle{ f }[/math], ולכן לפי כלל השרשרת היא גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ h'(x)=f'(-x)\cdot(-1) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ h=f }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], עם [math]\displaystyle{ f'(x)=-\frac{4}{3}\sqrt[3]{-x}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x} }[/math], כי השורש השלישי אי־זוגי: [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x} }[/math]. זו אותה נוסחה כמו ב־(א).
(ג) את [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] אי אפשר להציב במשפט 5.4.1, ולכן נחשב את גבול שיפועי המיתרים. לכל [math]\displaystyle{ h\ne0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{h^4}=h\sqrt[3]{h} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h\sqrt[3]{h}}{h} }[/math] [math]\displaystyle{ =\sqrt[3]{h}\to0 }[/math] כש [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math], כי השורש השלישי רציף. לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math], ובסך הכול [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], גם ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
לעומת זאת, עבור [math]\displaystyle{ g(x)=\sqrt[3]{x} }[/math] שיפוע המיתר הוא, לכל [math]\displaystyle{ h\ne0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt[3]{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\to\infty }[/math] כש [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (המשיק שם אנכי).
בשפת טענה 5.4.2: מימין ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] שיפוע המיתר של [math]\displaystyle{ x^{\alpha} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ h^{\alpha-1} }[/math], והוא שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{4}{3}>1 }[/math] ול־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{3}<1 }[/math].
מקור: תמליל 64 (UQnqIRrf12E): השורש השלישי 01:22–01:58 (t=82s); המקרה x=0 לפי שיפועי המיתרים h^(α−1), 05:46–08:23 (t=346s); המעבר לשליליים דרך פונקציה זוגית וכלל השרשרת 09:16–11:49 (t=556s), ו־11:57 (t=717s): "ובאופן דומה אפשר להוכיח את זה לחזקות אי זוגיות או לשורשים אי זוגיים"; פריטים 5.4.2 ו־5.4.3; דף הקורס בוויקי (rev 90835), סעיף "נגזרת של חזקה": "כיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x"; מאגר ת5-027 (השורש השלישי, V64@00:20) ות5-025 (T5-33: x^α ב־0). הפונקציה ∛(x⁴) עצמה נבחרה לדף (אינה מופיעה במאגר כתרגיל נפרד).
טעויות נפוצות
לגזור אקספוננט כאילו היה חזקה, כלומר לכתוב [math]\displaystyle{ (2^x)'=x\cdot2^{x-1} }[/math]: כשהקבוע בבסיס והמשתנה במעריך הנגזרת היא [math]\displaystyle{ 2^x\ln 2 }[/math], ו"החזקה יורדת ומורידים אחד מהחזקה" רק כשהקבוע במעריך, כמו ב־[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] (בסרטון, 2:05).
לכתוב [math]\displaystyle{ (\log_a x)'=\frac{1}{x} }[/math] לכל בסיס: הנוסחה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] נכונה רק ל־[math]\displaystyle{ \ln x }[/math], ולבסיס אחר [math]\displaystyle{ (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} }[/math], למשל [math]\displaystyle{ (\log_{10}x)'=\frac{1}{x\ln 10} }[/math].
להציב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] בנוסחה [math]\displaystyle{ \alpha x^{\alpha-1} }[/math] כש [math]\displaystyle{ \alpha<1 }[/math]: הנוסחה [math]\displaystyle{ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] נכונה רק ל־[math]\displaystyle{ x>0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כי שיפוע המיתר מימין [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}} }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]; בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בודקים לפי גבול שיפועי המיתרים (בסרטון, 1:11).
להשתמש בטריק [math]\displaystyle{ x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x} }[/math] גם כש [math]\displaystyle{ x\le0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \ln x }[/math] מוגדר רק ל־[math]\displaystyle{ x>0 }[/math], ולכן בשליליים מטפלים בחזקות שלמות ובשורשים אי־זוגיים בעזרת זוגיות ואי־זוגיות (כמו בדוגמה 4), ובאפס לפי גבול שיפועי המיתרים (בסרטון, 4:05).
"להוכיח" את [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2} }[/math] בעזרת כלל המנה: זו הוכחה מעגלית, כי כלל המנה עצמו נשען על הנגזרת של [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math], ואילו היא נובעת מנגזרת החזקה עם [math]\displaystyle{ \alpha=-1 }[/math] (בסרטון, 0:20).
לתרגול
מועד ב' תשע"ח (תיכוניסטים) · שאלה 3: היכן [math]\displaystyle{ x^x }[/math] גזירה ומהי נגזרתה, כמו הדוגמה השלישית בדף (השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן). קושי 1.
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 3ב: הנגזרת של [math]\displaystyle{ x^x }[/math]; בשאר הסעיפים של שאלה 3 גוזרים ומציינים נקודות אי־גזירות (פתרון). קושי 1.
מועד א' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 6: גזרו את [math]\displaystyle{ x^{e^{e^x}} }[/math] (פתרון). קושי 2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות
מערך תרגול: גזירות · הנוסחה [math]\displaystyle{ (f^g)' }[/math] דרך [math]\displaystyle{ f^g=e^{g\ln f} }[/math]; בסעיף "נגזרות של פונקציות נפוצות" באותו דף יש קישור לדף נוסחאות סרוק של נגזרות
תרגול 12 (לואי ומני) · עמ' 2: הגדרת הנגזרת, והנגזרת של [math]\displaystyle{ x^{\sin x} }[/math] בטריק [math]\displaystyle{ e }[/math] בחזקת [math]\displaystyle{ \ln }[/math]; עם פתרון
![הנגזרת של סינוס היא קוסינוס. למעלה: הגרף של [math]\displaystyle{ y=\sin x }[/math] (ירוק) והמשיקים לו (כחול) בנקודות [math]\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi }[/math], ולצד כל משיק השיפוע שלו [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ 1,0,-1,0,1 }[/math]. למטה: הגרף של [math]\displaystyle{ y=\cos x }[/math], והעיגולים הכחולים עליו נמצאים בדיוק בגובה השיפועים האלה (הקווים המנוקדים מחברים כל נקודת השקה לעיגול שמתחתיה). כשהסינוס עולה הקוסינוס חיובי, בשיא ובשפל של הסינוס המשיק אופקי והקוסינוס מתאפס, וכשהסינוס יורד הקוסינוס שלילי. השיפוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא בדיוק הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c5-02m.png)
