בקצרה: הגדרת הנגזרת עונה על השאלה מה זה נגזרת: הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא הגבול של שיפועי המיתרים [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבול הזה קיים וסופי. באופן אינטואיטיבי, בזום־אין על נקודה שבה הפונקציה גזירה הגרף נראה כמו קו ישר, המשיק, ומהנגזרת מקבלים את שיפוע המשיק ומשוואת המשיק לגרף בנקודה. חישוב נגזרת לפי הגדרה נדרש כשכללי הגזירה אינם חלים, למשל בנקודת התפר של פונקציה מפוצלת, וזו שאלה קבועה בבחנים ובמבחנים. המשפט המרכזי של הסעיף הוא שפונקציה גזירה היא רציפה, אבל לא להפך: פונקציית הערך המוחלט רציפה באפס ואינה גזירה בו.
▶ ההרצאה: נגזרת של פונקציה
▶ ההרצאה: הגדרת הנגזרת
שיפועי המיתרים של [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2+1} }[/math] מהנקודה [math]\displaystyle{ P=\left(1,\frac{1}{2}\right) }[/math] לנקודות [math]\displaystyle{ Q_1,Q_2,Q_3 }[/math] על הגרף, שמעל [math]\displaystyle{ x=3,\ 2,\ 1.4 }[/math] (הקווים המקווקווים), הם [math]\displaystyle{ -0.2 }[/math], [math]\displaystyle{ -0.3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\frac{15}{37}\approx-0.41 }[/math] (בציור [math]\displaystyle{ m_{PQ_i} }[/math]). ככל ש [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקרבת ל־[math]\displaystyle{ P }[/math], השיפועים מתקרבים ל־[math]\displaystyle{ f'(1)=-\frac{1}{2} }[/math], שיפוע המשיק [math]\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2} }[/math] (הקו התכלת; דוגמה 1). העיגול האדום: המשיק פוגש את הגרף שוב בנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], כלומר משיק יכול לחתוך את הגרף.
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.
אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math]גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] קיים וסופי.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא הגבול הזה:
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הוא הישר שעובר בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] ושיפועו [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math].
מסקנה 5.1.3
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי משוואת המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: נגזרת לפי הגדרה ומשוואת המשיק
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2+1} }[/math]. (א) חשבו לפי ההגדרה את [math]\displaystyle{ f'(1) }[/math]. (ב) מצאו את משוואת המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0=1 }[/math]. (ג) הראו שהמשיק פוגש את הגרף בנקודה נוספת.
(א) [math]\displaystyle{ f(1)=\frac{1}{2} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\ne1 }[/math], שיפוע המיתר בין [math]\displaystyle{ (1,f(1)) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2-(x^2+1)}{2(x^2+1)(x-1)} }[/math] (מכנה משותף [math]\displaystyle{ 2(x^2+1) }[/math]) [math]\displaystyle{ =\frac{(1-x)(1+x)}{2(x^2+1)(x-1)} }[/math] [math]\displaystyle{ =-\frac{x+1}{2(x^2+1)} }[/math].
לפי אריתמטיקה של גבולות, כאשר [math]\displaystyle{ x\to1 }[/math] הביטוי שואף ל־[math]\displaystyle{ -\frac{1+1}{2(1+1)}=-\frac{1}{2} }[/math]. גבול שיפועי המיתרים קיים וסופי, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(1)=-\frac{1}{2} }[/math].
(ב) לפי מסקנה 5.1.3 משוואת המשיק היא [math]\displaystyle{ y=f(1)+f'(1)(x-1) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(x-1) }[/math], ובקיצור [math]\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2} }[/math].
(ג) נכפול ב־[math]\displaystyle{ 2(x^2+1)>0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x}{2} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 2=(2-x)(x^2+1) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^3-2x^2+x=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x(x-1)^2=0 }[/math].
לכן המשיק פוגש את הגרף ב־[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] וגם בנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] (העיגול האדום באיור). המשיק נקבע לפי השיפוע בנקודה, ולא לפי "נוגע בגרף ואינו חותך אותו".
מקור: מאגר ת5-003 (משפחת "נגזרת/משיק לפי ההגדרה", ק' 1–2, בוחן ✓ 4ד'): הנגזרת של [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2+1} }[/math] לפי ההגדרה מופיעה בש"ב 11 של בוגרים תש"ף (W6a P2, 21.1.2020) ובתרגיל 3 ש4 של מדמ"ח תשע"ט (W6b); הנקודה [math]\displaystyle{ x_0=1 }[/math], המשיק וסעיף (ג) נוספו כאן. הרעיון של מיתר ששיפועו מתקרב לשיפוע המשיק: תמליל 58 (7FYVQ_fGyNE) 04:10–06:53 (https://www.youtube.com/watch?v=7FYVQ_fGyNE&t=250s), שם המרצה מחשב בצעד [math]\displaystyle{ h }[/math] ש [math]\displaystyle{ (x^2)'=2x }[/math]; סעיף (ג) עונה על הטענה "הוא צריך לעבור בנקודה ולא לחתוך את הפונקציה" בסרטון ב־01:04 (t=64s).
דוגמה 2: שאלת בוחן: רציפות מול גזירות
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. הוכיחו או הפריכו: (א) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. (ב) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. (ג) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי גם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
(א) לא נכון. דוגמה נגדית: [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]. הפונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}|x|=0=|0| }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math], שיפוע המיתר בין [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (x,|x|) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{|x|}{x} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1 }[/math]. הגבולות החד־צדדיים שונים, ולכן גבול שיפועי המיתרים אינו קיים, ו־[math]\displaystyle{ |x| }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (בגרף: "שפיץ" שנשאר שפיץ בכל זום־אין).
(ב) נכון. נב"ש ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי לפי משפט 5.1.4 [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], בסתירה לנתון. זו הטענה השקולה למשפט (הקונטרה־פוזיטיב שלו): גזירות גוררת רציפות, ולכן אי־רציפות גוררת אי־גזירות.
(ג) לא נכון.[math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כי לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] שיפוע המיתר הוא [math]\displaystyle{ \frac{x-0}{x-0}=1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ |f(x)|=|x| }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לפי סעיף (א).
דוגמה 3: [math]\displaystyle{ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] מול [math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] באפס
נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ g(0)=f(0)=0 }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אך אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. (ב) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וחשבו את [math]\displaystyle{ f'(0) }[/math].
(א) רציפות: כאשר [math]\displaystyle{ x\to0 }[/math], הגורם [math]\displaystyle{ x }[/math] שואף לאפס והגורם [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] חסום בין [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי אפסה כפול חסומה [math]\displaystyle{ g(x)\to0=g(0) }[/math].
אי־גזירות: לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] שיפוע המיתר הוא [math]\displaystyle{ \frac{g(x)-g(0)}{x-0} }[/math] [math]\displaystyle{ =\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} }[/math]. אלה סדרות של מספרים חיוביים ששואפות לאפס, ו־[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{x_n}\right)=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{y_n}\right)=-1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
על שתי הסדרות שיפועי המיתרים שואפים לגבולות שונים, [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], ולכן לפי היינה לשיפועי המיתרים אין גבול כאשר [math]\displaystyle{ x\to0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: השיפועים "מתנדנדים" בין [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
(ב) לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} }[/math] [math]\displaystyle{ =x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=g(x) }[/math]. לפי (א) [math]\displaystyle{ g(x)\to0 }[/math], ולכן גבול שיפועי המיתרים קיים וסופי: [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
בגרף: [math]\displaystyle{ f }[/math] כלואה בין [math]\displaystyle{ y=-x^2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math], ושתי הפרבולות משיקות לציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] באפס; לכן המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] באפס הוא [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]. את [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] מחשבים בחוקי הגזירה, ומתברר שהנגזרת אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
מקור: מאגר ת5-008 ([math]\displaystyle{ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] אינה גזירה ב־0: ש"ב תשע"א HW-A A12.5 = B12.4, חוברת צבאן 8.5, ק' 2, בוחן ✓ 4ד') ות5-007 ([math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math] לפי אפסה כפול חסומה; W3 #57; ובגרסה [math]\displaystyle{ \arctan(x^2)\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] במועד ג' תשע"ז מדמ"ח, שאלה 3א, פתרון של ארז); הסדרות עם ערכי סינוס הפוכים: לוח 12.1.21 (R3-X8); מערך תרגול תשע"ב, גזירות §רציפות הנגזרת ([math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) }[/math], "יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה").
דוגמה 4: שאלה ממבחן: נקודת תפר עם פרמטרים
(מועד א' תשע"ג, שאלה 4) יהיו [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}ax+b & x\le1\\ 2x^2 & x>1\end{cases} }[/math]. (א) מצאו את כל ערכי [math]\displaystyle{ a,b }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. (ב) מצאו את כל ערכי [math]\displaystyle{ a,b }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], וחשבו את [math]\displaystyle{ f'(1) }[/math].
בסביבה של כל נקודה [math]\displaystyle{ x_0<1 }[/math] הפונקציה שווה ל־[math]\displaystyle{ ax+b }[/math], ולכן שיפוע המיתר שם הוא [math]\displaystyle{ \frac{a(x-x_0)}{x-x_0}=a }[/math]. בסביבה של כל נקודה [math]\displaystyle{ x_0>1 }[/math] היא שווה ל־[math]\displaystyle{ 2x^2 }[/math], ולכן שיפוע המיתר שם הוא [math]\displaystyle{ \frac{2(x^2-x_0^2)}{x-x_0} }[/math] [math]\displaystyle{ =2(x+x_0)\to4x_0 }[/math]. לכן בכל [math]\displaystyle{ x_0\ne1 }[/math] הפונקציה גזירה, ובפרט רציפה (משפט 5.1.4). נותר לבדוק את נקודת התפר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ f(1)=a+b }[/math], הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^-}(ax+b)=a+b }[/math], והגבול מימין הוא [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^+}2x^2=2 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a+b=2 }[/math].
(ב) בשביל גזירות צריך שגבול שיפועי המיתרים יהיה קיים וסופי, ובכל מקרה חייבים לפחות רציפות (משפט 5.1.4). לכן נדרוש [math]\displaystyle{ a+b=2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(1)=2 }[/math], ונחשב את הגבולות החד־צדדיים של שיפועי המיתרים.
משמאל, לכל [math]\displaystyle{ x<1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{ax+b-(a+b)}{x-1}=a }[/math], ולכן הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ a }[/math].
הגבול הדו־צדדי קיים אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=4 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ b=2-a=-2 }[/math]. בכיוון ההפוך, עבור [math]\displaystyle{ a=4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b=-2 }[/math] שני הגבולות החד־צדדיים שווים ל־[math]\displaystyle{ 4 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(1)=4 }[/math].
תשובה: (א) [math]\displaystyle{ a+b=2 }[/math]; (ב) [math]\displaystyle{ a=4 }[/math], [math]\displaystyle{ b=-2 }[/math]. הישר [math]\displaystyle{ y=4x-2 }[/math] הוא בדיוק המשיק לפרבולה [math]\displaystyle{ y=2x^2 }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הגרף ממשיך את הפרבולה בלי "שפיץ".
למה אסור לדלג על הרציפות: אם [math]\displaystyle{ a+b\ne2 }[/math], אזי מימין המונה [math]\displaystyle{ 2x^2-(a+b) }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 2-(a+b)\ne0 }[/math] והמכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן שיפועי המיתרים שואפים ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה גזירה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], גם אם [math]\displaystyle{ a=4 }[/math].
מקור: מועד א' תשע"ג (מתמטיקה; אגרנובסקי, הורוביץ), שאלה 4א–ב; פתרון של ארז (Infi1TashagMoedASol.pdf, זהה לקובץ 'פתרון מועד א' תשעג' בארכיון של ארז), ממנו המשפט "בשביל גזירות צריך שגבול שיפועי המיתרים יהיה קיים וסופי, ובכל מקרה חייבים לפחות רציפות". מאגר ת5-019 (משפחת "שני פולינומים בנקודת תפר", ק' 1–3, בוחן ✓ 6ד'; W5b Q070 + Q110; גם W6a P3 FinalLesson, "תרגיל (ממבחן)"). סעיף ג' במבחן (גזירות פעמיים; התשובה: לעולם לא) הושמט.
טעויות נפוצות
לחשב את הגבול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] במקום את גבול שיפועי המיתרים: ברציפות שואלים לאן הולכת [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], ובגזירות שואלים לאן הולך [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] (בסרטון, 2:17: "ובו נופלים הכי הרבה").
לקבל גבול אינסופי כנגזרת: אם שיפועי המיתרים שואפים ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math], הפונקציה אינה גזירה ואין לה משיק בנקודה (אין "משיק אנכי"), למשל [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{x} }[/math] באפס, שבה [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\to\infty }[/math].
להסיק גזירות מרציפות: המשפט הוא "גזירה גוררת רציפה" ולא להפך, ו־[math]\displaystyle{ |x| }[/math] רציפה באפס אבל שיפועי המיתרים שלה שואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מימין ול־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] משמאל, ולכן הגבול הדו־צדדי, שההגדרה דורשת, אינו קיים.
להגדיר משיק כ"ישר שנוגע בגרף ואינו חותך אותו": המשיק נקבע לפי השיפוע [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] ויכול לחתוך את הגרף (המשיק ל־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] באפס הוא ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], והגרף חוצה אותו; המשיק בדוגמה הראשונה פוגש את הגרף שוב ב־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]).
בנקודת תפר להשוות רק את הנגזרות של שני החלקים: קודם בודקים רציפות (גזירות גוררת רציפות), כי בלעדיה שיפועי המיתרים לפחות מצד אחד שואפים ל־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math], ורק אחר כך משווים את שני הגבולות החד־צדדיים של שיפועי המיתרים.
לתרגול
מועד ב' תשנ"ט · שאלה 7א: הוכיחו שפונקציה גזירה היא רציפה (עם פתרון). קושי 1–2.
מועד א' תשע"ג (מתמטיקה) · שאלה 4: [math]\displaystyle{ ax+b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2x^2 }[/math], רציפות, גזירות וגזירות פעמיים, כמו הדוגמה הרביעית בדף (פתרון של ארז). קושי 1–3.
מועד א' תשע"ט (תיכוניסטים) · שאלה 5: [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ ax+b }[/math] עם נקודת תפר ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math], אותה שיטה (פתרון של ארז). קושי 2.
מועד ג' תשע"ז (מדמ"ח) · שאלה 3א: [math]\displaystyle{ \arctan(x^2)\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math], רציפות וגזירות, וריאציה על הדוגמה השלישית (קובץ פתרון בלבד). קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
מערך תרגול: גזירות · הסעיף "הגדרת הנגזרת": הנגזרת של [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] לפי ההגדרה, בכפל בצמוד.
תרגול 12 (לואי ומני) · עמ' 2–3: הגדרת הנגזרת, היכן [math]\displaystyle{ |x|\cdot|5-x| }[/math] גזירה, ותרגיל: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=L }[/math], אזי אי־הרציפות ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] סליקה וההמשך הרציף גזיר שם עם נגזרת [math]\displaystyle{ L }[/math]; עם פתרונות.
![שיפועי המיתרים של [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2+1} }[/math] מהנקודה [math]\displaystyle{ P=\left(1,\frac{1}{2}\right) }[/math] לנקודות [math]\displaystyle{ Q_1,Q_2,Q_3 }[/math] על הגרף, שמעל [math]\displaystyle{ x=3,\ 2,\ 1.4 }[/math] (הקווים המקווקווים), הם [math]\displaystyle{ -0.2 }[/math], [math]\displaystyle{ -0.3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\frac{15}{37}\approx-0.41 }[/math] (בציור [math]\displaystyle{ m_{PQ_i} }[/math]). ככל ש [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקרבת ל־[math]\displaystyle{ P }[/math], השיפועים מתקרבים ל־[math]\displaystyle{ f'(1)=-\frac{1}{2} }[/math], שיפוע המשיק [math]\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2} }[/math] (הקו התכלת; דוגמה 1). העיגול האדום: המשיק פוגש את הגרף שוב בנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], כלומר משיק יכול לחתוך את הגרף.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c5-01.png)