אינפי 1/סדרות מונוטוניות

📄 דף מעודכן על הנושא: סדרות מונוטוניות: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

הגדרה

אומרים שסדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty }[/math] "עולה מונוטונית" אם [math]\displaystyle{ \forall n : x_n\leq x_{n+1} }[/math], במקרה כזה יש כאלה שמסמנים [math]\displaystyle{ x_n \nearrow }[/math].
באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה [math]\displaystyle{ \forall n : x_n\geq x_{n+1} }[/math] ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים [math]\displaystyle{ x_n \searrow }[/math]

משפט

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \sup x_n = M , \inf x_n = m }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x_n \nearrow }[/math] אז הסדרה מתכנסת ל- [math]\displaystyle{ M }[/math] ואם [math]\displaystyle{ x_n \searrow }[/math] אז הסדרה מתכנסת ל- [math]\displaystyle{ m }[/math].

הוכחה.

נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] אז יהי [math]\displaystyle{ \epsilon>0 }[/math] לפי תכונה של סופרימום, [math]\displaystyle{ \exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon }[/math] וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, \begin{displaymjx}\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon\end{displaymjx} ואז [math]\displaystyle{ x_n\to M }[/math].
אם [math]\displaystyle{ M=\infty }[/math] אז יהי [math]\displaystyle{ E\in\mathbb{R} }[/math]. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, [math]\displaystyle{ \exists n_0 : x_{n_0}>E }[/math] וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, [math]\displaystyle{ \forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x_n\to \infty=M }[/math].

∎