הגדרה
- פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל [math]\displaystyle{ x\neq y }[/math] ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ f(x)\neq f(y) }[/math] .
- הפונקציה נקראת "על" אם [math]\displaystyle{ \forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y }[/math] .
- במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B }[/math], או במילים אחרות [math]\displaystyle{ \forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y }[/math]
הגדרה
פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math] נקראת מונוטונית עולה ממש אם [math]\displaystyle{ \forall x<y : f(x)<f(y) }[/math] ובאופן אנלוגי מונוטוני יורדת ממש.
סימון: כאשר נסמן [math]\displaystyle{ <a,b> }[/math] הכוונה היא לאחת מהאפשרויות [math]\displaystyle{ [a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) }[/math] (כל אחת תתאים).
משפט
נניח ש- [math]\displaystyle{ f:<a,b>\to \mathbb{R} }[/math] רציפה אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש.
הוכחה.
טריוויאלי מההגדרה
נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] לא מונוטונית ממש, ולכן \begin{displaymjx}\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4)\end{displaymjx} (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן \begin{displaymjx}\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma)\end{displaymjx} ואם נניח בה"כ ש- [math]\displaystyle{ f(\alpha)<f(\gamma) }[/math] אזי נזכור ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ועבור [math]\displaystyle{ t\in (f(\gamma),f(\beta)) }[/math] לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ \exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע.
∎
הבחנה:
תהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math] רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר [math]\displaystyle{ d=\sup f , c=\inf f }[/math] סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אל [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math] . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת את הערכים האלו ולכן [math]\displaystyle{ c,d\in \operatorname{Im} f }[/math] וממשפט ערך הביניים נסיק כי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to [c,d] }[/math] פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] במקרה הזה.
משפט
באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{-1} : [c,d]\to [a,b] }[/math] רציפה ומונוטונית ממש .
הוכחה.
מספיק להראות עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי.
יהיו [math]\displaystyle{ y_1<y_2 \in [c,d] }[/math] ונראה כי [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) }[/math] משום שאחרת מזה ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ממש נקבל ש- [math]\displaystyle{ y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 }[/math] בסתירה לכך ש- [math]\displaystyle{ y_1>y_2 }[/math] .
כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק’ אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] נק’ אי רציפות מסדר ראשון ואז
[math]\displaystyle{ \lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) }[/math] ואם נסתכל על [math]\displaystyle{ x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) }[/math] נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה!
∎
