אינפי 1/שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה

📄 דף מעודכן על הנושא: גבול פונקציה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות.
במילים אחרות, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x)=L }[/math] לפי היינה

הוכחה.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ x_n }[/math] סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-[math]\displaystyle{ a }[/math], נרצה להוכיח ש- [math]\displaystyle{ f(x_n)\to L }[/math] .
יהי אפסילון גדול מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], לפי הגדרת הגבול של קושי קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math]
כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] ש- [math]\displaystyle{ 0<|x-a|<\delta }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\varepsilon }[/math] . נחזור לסדרה: \begin{displaymjx}x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta\end{displaymjx} ולכן אם ניקח את ה-[math]\displaystyle{ N }[/math] הזה יתקיים ש- [math]\displaystyle{ \forall n>N : |f(x_n)-L|<\varepsilon }[/math].

[math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]

נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ L }[/math] לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי \begin{displaymjx}\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|\geq \varepsilon\end{displaymjx} זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות [math]\displaystyle{ \delta_n=\frac{1}{n} }[/math] ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים [math]\displaystyle{ x_n }[/math] שמקיים \begin{displaymjx}|x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|\geq \varepsilon\end{displaymjx} ואז מתקיים ש- [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] אבל [math]\displaystyle{ f(x_n)\not\to L }[/math]

∎