הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל

הוכחת משפט האי-שלימות הראשון של גדל

אוסף כל המשפטים בתאוריה הוא בן מנייה. על כן ניתן לתת לכל משפט בתאוריה מספר (הנקרא מספר גדל) שאותו נסמן בסוגריים מרובעים.
לדוגמא: אם [math]\displaystyle{ ''3 \gt 5'' }[/math] הוא המשפט השלישי בתאוריה אזי [math]\displaystyle{ [''3\gt 5'']=3 }[/math].
באופן דומה, נשתמש בסוגריים מסולסלים על מנת לחזור מהמספר אל המשפט. בדוגמא: [math]\displaystyle{ \{3\}=\,''\!3\gt 5'' }[/math].

הלמה של טרסקי (Diagonal lemma)

לכל פרדיקט עם שניתן לכתוב ע"י לוגיקה מסדר ראשון משתנה מספרי אחד [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] קיים בתאוריה משפט [math]\displaystyle{ s }[/math] עבורו:

[math]\displaystyle{ s\iff P([s]) }[/math]

הוכחה

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:\N\to\N\cup\{0\} }[/math] באופן הבא:

אם [math]\displaystyle{ \{n\}=Q(x) }[/math] הוא נוסחא במשתנה מספרי יחיד אזי [math]\displaystyle{ f(n):=[Q(n)] }[/math].

אחרת [math]\displaystyle{ f(n):=0 }[/math].

שימו לב כי [math]\displaystyle{ Q(n) }[/math] הוא הצבת [math]\displaystyle{ n }[/math] בנוסחא עם משתנה, ולכן גם מהווה נוסחא בתאוריה ולכן יש לו מספר גדל.
כמו כן, שימו לב כי שיטה זו דומה לשיטת האלכסון של קנטור. בכל נוסחא אנו מציבים את מספר הגדל של הנוסחא.

דוגמא: נניח כי המשפט השלישי בתאוריה הוא נוסחא מספרית [math]\displaystyle{ Q(x)=\,''\!x\gt 2'' }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ f(3)=[Q(3)]=[''3\gt 2''] }[/math].

נגדיר כעת את הנוסחא הבאה [math]\displaystyle{ B(x)=P(f(x)) }[/math].

טענה: [math]\displaystyle{ B([B])\iff P([B([B])]) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math].

הוכחה

כיוון אחד: נניח [math]\displaystyle{ B([B]) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ P(f([B])) }[/math]. נשים לב כי [math]\displaystyle{ f([B])=[B([B])] }[/math]. נובע כי [math]\displaystyle{ P([B([B])]) }[/math] כפי שרצינו.

כיוון שני: נניח [math]\displaystyle{ P([B([B])]) }[/math]. מהעובדה כי [math]\displaystyle{ f([B])=[B([B])] }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ P(f([B])) }[/math] לכן לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ B([B]) }[/math].

מסקנה: המשפט [math]\displaystyle{ s=B([B]) }[/math] מקיים:

[math]\displaystyle{ s\iff P([s]) }[/math]

כפי שרצינו.

סיום הוכחת משפט האי-שלימות הראשון של גדל בעזרת הלמה של טרסקי

שימו לב כי מתוך הלמה של טרסקי לא ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שהם 'אמת'. הרי אם היתה קבוצה כזו, אזי ניתן היה להגדיר נוסחא מספרית

[math]\displaystyle{ =P(x) }[/math] "[math]\displaystyle{ \{x\} }[/math] אינו שייך לקבוצת המשפטים שהם 'אמת'".

לפי הלמה קיים משפט השקול לכך שאינו בקבוצת האמת, ולכן אם הוא אמת הוא אינו אמת, ואם הוא אינו אמת הוא אמת. (זו סתירה הדומה לפרדוקס של ראסל.)

לעומת זאת, מכיוון שאוסף כל הטקסטים בשפה הוא בן מנייה, בפרט אוסף ההוכחות הוא בין מנייה, ולכן ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שניתן להוכיח (הם פשוט השורה האחרונה של כל הוכחה תקינה). נגדיר את הנוסחא

[math]\displaystyle{ =P(x) }[/math] "[math]\displaystyle{ \{x\} }[/math] אינו שייך לקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה".

כעת לפי הלמה של טרסקי יש משפט השקול לכך שהוא אינו בקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה. אם הוא היה שקר, סימן שהוא ניתן להוכחה ולכן הוא אמת וזו סתירה. אם הוא אמת, לעומת זאת, אין סתירה אך הוא אינו ניתן להוכחה.

מכאן המשפט נובע באופן ישיר: או שהתאוריה אינה שלימה (קיים משפט שלא ניתן להוכיחו או להפריכו) או שהיא אינה עקבית (היא מכילה סתירה).