משפטי אי השלימות של גדל (Gödel)

חזרה למשפטים

לוגיקה מסדר ראשון היא שפת הבסיס של המתמטיקה, כפי שלמדנו בקורס 88-101 חשיבה מתמטית. זו שפה הבנויה מפסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"), המחוברים באמצעות קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה) וכמתים (לכל, קיים). הוכחה בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג עוצמה. כמו כן, ראינו בתרגיל כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.

הגדרה: בלוגיקה מסדר ראשון, מערכת אקסיומטית ראוייה הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים אקסיומות המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (אלו המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)

הגדרה: מערכת אקסיומטית נקראת עקבית אם לא קיים משפט בתאוריה שגם הוא וגם השלילה שלו ניתנים להוכחה.

הגדרה: מערכת אקסיומטית נקראת שלימה אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

משפט אי השלימות הראשון של גדל

--מערכת אקסיומטית ראוייה היא שלימה אם ורק אם היא אינה עקבית.

במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.

הוכחת המשפט

משפט אי השלימות השני של גדל

--מערכת אקסיומטית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)

במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין דרך להוכיח את העקביות הזו בתוך התאוריה.

הוכחת המשפט