לינארית 2/ההעתקה הצמודה
ההעתקה הצמודה
יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מרחבי מכפלה פנימית מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] העתקה לינארית. אומרים כי [math]\displaystyle{ T^*:W\rightarrow V }[/math] היא ההעתקה הצמודה ל-[math]\displaystyle{ T }[/math], אם לכל וקטורים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ w\in W }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle\end{displaymjx}
נקבע [math]\displaystyle{ w\in W }[/math], ונגדיר [math]\displaystyle{ \varphi_w:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \varphi_w\left ( v \right )=\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle }[/math]. [math]\displaystyle{ \varphi_w }[/math] הוא פונקציונל לינארי, ולכן, לפי משפט ההצגה של ריס, קיים וקטור [math]\displaystyle{ a\in V }[/math], אחד ויחיד (התלוי ב-[math]\displaystyle{ T }[/math] וב-[math]\displaystyle{ w }[/math]) כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \varphi_w\left ( v \right )=\left \langle v,a \right \rangle }[/math]. ז"א שלכל [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] התאמנו [math]\displaystyle{ a\in V }[/math] (באופן חד-משמעי). כלומר, בנינו העתקה מ-[math]\displaystyle{ W }[/math] ל-[math]\displaystyle{ V }[/math] שנסמן אותה [math]\displaystyle{ T^*:W\rightarrow V }[/math], [math]\displaystyle{ w\mapsto a }[/math].
מה בעצם עשינו? בנינו "בידיים" את ההעתקה; לכל וקטור בחרנו וקטור ספציפי שאליו הוא יועתק. הבנייה הזו מראה את הקיום ואת היחידות של ההעתקה הצמודה; אם יש שתיים כאלו הנבדלות בערכן בווקטור מסוים, משפט ההצגה של ריס ייתן סתירה. כמו כן, הצבענו בבירור על העתקה כזו, כלומר היא אכן קיימת. נותר להוכיח דבר אחד - ההעתקה הצמודה היא באמת העתקה לינארית.
[math]\displaystyle{ T^*:W\rightarrow V }[/math] היא העתקה לינארית.
הוכחה.
צריך להוכיח [math]\displaystyle{ T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )=\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור כלשהו. נשים לב כי:
\begin{displaymjx}\left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle T\left(v \right ),\alpha w_1+\beta w_2 \right \rangle=\overline{\alpha}\left \langle T\left(v \right ),w_1 \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle T\left(v \right ),w_2 \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\overline{\alpha}\left \langle v,T^*\left(w_1 \right ) \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle v,T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle v,\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle\end{displaymjx}
לכן לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )-\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=0 }[/math].
ניקח [math]\displaystyle{ v=T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )-\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) }[/math], ומהאי-שליליות של מכפלה פנימית נקבל את הדרוש.
∎
הגדרנו את ההעתקה הצמודה, והוכחנו שהיא קיימת ויחידה. כעת, נשאל - מה עם המטריצה המייצגת שלה? כעת, נקבל גם הבהרה לסימון [math]\displaystyle{ T^* }[/math]:
תהי [math]\displaystyle{ T^*:W\rightarrow V }[/math] ההעתקה הצמודה ל-[math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math], יהי [math]\displaystyle{ B'=\left \{ w_1,\dots,w_m \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ W }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ A }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ A' }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T^* }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A'=A^*=\overline{A}^t }[/math].
הוכחה.
נחשב את שני הצדדים של השוויון [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle }[/math] עבור [math]\displaystyle{ v=v_i }[/math], [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ w=w_j }[/math], [math]\displaystyle{ j=1,\dots,m }[/math]. \begin{displaymjx}\left \langle T\left(v_i \right ),w_j \right \rangle=\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B'}^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=\left(A\left[v_i \right ]_B \right )^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^tA^te_j=a_{ji}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\left \langle v_i,T^*\left(w_j \right ) \right \rangle=\left[v_i \right ]_B^t\overline{\left[T^*\left(w_j \right ) \right ]_B}=\left[v_i \right ]_B^t\overline{A'\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^t\overline{A'}e_j=\overline{a_{ij}'}\end{displaymjx}
לפי השוויון [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle }[/math], נקבל [math]\displaystyle{ \overline{a_{ij}'}=a_{ji} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{ij}'=\overline{a_{ji}} }[/math]. בסך הכל, [math]\displaystyle{ A'=A^*=\overline{A}^t }[/math].
∎
מהמשפט הנ"ל, נוכל להיעזר בידע שלנו על מטריצות ולחשב העתקות צמודות של סכום, כפל בסקלר, הכפלה וכו’. ניתן לחשב זאת גם ישירות, אך נוח יותר להיעזר במטריצות.
יהיו [math]\displaystyle{ T,T':V\rightarrow W }[/math] ו-[math]\displaystyle{ S:W\rightarrow U }[/math] העתקות לינאריות. אזי:
- הרכבה: [math]\displaystyle{ \left ( S\circ T \right )^*=T^*\circ S^* }[/math].
- העתקה צמודה של העתקה צמודה: [math]\displaystyle{ \left(T^* \right )^*=T }[/math].
- חיבור וכפל בסקלר:
- חיבור: [math]\displaystyle{ \left(T+T' \right )^*=T^*+\left(T' \right )^* }[/math].
- כפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \left(\alpha T \right )^*=\overline{\alpha}T^* }[/math].
הוכחה.
נבחר בסיסים אורתונורמליים בכל המרחבים ונשתמש במטריצות המייצגות של ההעתקות יחסית לבסיסים האלו. נשתמש במשפט הקודם.
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,A' }[/math] המטריצות המייצגות של [math]\displaystyle{ T,S }[/math] בהתאמה; [math]\displaystyle{ \left(AA' \right )^*=\left(A' \right )^*A^* }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left(A^* \right )^*=A }[/math].
- ## [math]\displaystyle{ \left(A+A' \right )^*=A^*+\left(A' \right )^* }[/math].
- כפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \left(\alpha A \right )^*=\overline{\left(\alpha A \right )}^t=\overline{\alpha}\overline{A}^t=\overline{\alpha}A^* }[/math].
∎