חזרה למערכי ההרצאה
הזהויות הפולריות
ננסה כעת לקחת נורמה על מרחב כלשהו [math]\displaystyle{ V }[/math] (מעל הממשיים או מעל המרוכבים, כמובן), ולשחזר ממנו את המכפלה הפנימית.
יהיו [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math]. נתבונן בנורמה [math]\displaystyle{ \left \| u+v \right \| }[/math]: \begin{displaymjx}\left \| u+v \right \|^2=\left \langle u+v,u+v \right \rangle=\left \langle u,u \right \rangle+\left \langle u,v \right \rangle+\left \langle v,u \right \rangle+\left \langle v,v \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left \| u \right \|^2+\overline{\left \langle u,v \right \rangle}+\left \langle u,v \right \rangle+\left \| v \right \|^2=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\operatorname{Re}\left (\left \langle u,v \right \rangle \right )\end{displaymjx}
מסקנה
זהות פולרית ממשית
אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right ) }[/math].
כעת נוכל להניח [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math], ונמשיך. נוכיח למה קצרה, שתעזור להקל את החישובים.
למה
\begin{displaymjx}\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )\end{displaymjx}
הוכחה.
על פי חצי-לינאריות, [math]\displaystyle{ \left \langle u,iv \right \rangle=\overline{i}\left \langle u,v \right \rangle=-i\left \langle u,v \right \rangle }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \left \langle u,v \right \rangle=x+iy }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=y }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,iv \right \rangle=-i\left (x+iy \right )=y-ix }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )=y }[/math].
∎
נשים לב כי [math]\displaystyle{ \left \| iv \right \|^2=\left \langle iv,iv \right \rangle=i\overline{i}\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2 }[/math], ולכן, על פי הזהויות שהוכחנו קודם, \begin{displaymjx}\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\frac{1}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )\end{displaymjx}
מסקנה
זהות פולרית מרוכבת
אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )\end{displaymjx}
מסקנה
מכפלה פנימית ניתנת לשחזור החל מנורמה.
חזרה למערכי ההרצאה
