לינארית 2/המאפס

חזרה למערכי ההרצאה

מאפס

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי, ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] תת-קבוצה. נגדיר \begin{displaymjx}S^0=\left \{ \varphi\in V^*\mid \forall v\in S:\varphi\left(v \right )=0 \right \}\end{displaymjx} כלומר, זה אוסף כל הפונקציונלים הלינאריים המתאפסים על כל [math]\displaystyle{ S }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S^0 }[/math] נקרא המאפס של [math]\displaystyle{ S }[/math].

הערה

תכונות המאפס:

1. [math]\displaystyle{ S^0\subseteq V^* }[/math] הוא תת-מרחב.

   הוכחה.

   אם [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2\in S^0 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in S }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=0\end{displaymjx}

   ∎

2. [math]\displaystyle{ S^0=\left (\operatorname{Span}S \right )^0 }[/math]

   הוכחה.

   נוכיח באמצעות הכלה דו-כיוונית.

   [math]\displaystyle{ \boxed{\supseteq} }[/math]

   ההכלה הזו ברורה, כי אם [math]\displaystyle{ \varphi\in\left (\operatorname{Span}S \right )^0 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Span}S }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \varphi\left(v\right)=0 }[/math], ובפרט זה נכון עבור [math]\displaystyle{ v\in S }[/math].

   [math]\displaystyle{ \boxed{\subseteq} }[/math]

   יהי [math]\displaystyle{ \varphi\in S^0 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Span}S }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ v=\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_k\in S }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\varphi\left(v \right )=\varphi\left(\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_kv_k \right )=\alpha_1\varphi\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_k\varphi\left(v_k \right )=0\end{displaymjx} וקיבלנו הדרוש.

   ∎

3. אם [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת-מרחב, אזי [math]\displaystyle{ \dim U+\dim U^0=\dim V }[/math].

   הוכחה.

   ניקח בסיס [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math], ונשלים אותו לבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] הבסיס הדואלי של [math]\displaystyle{ B }[/math]. נסתכל על הפונקציונלים [math]\displaystyle{ \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} }[/math], ונוכיח שהם בסיס של [math]\displaystyle{ U^0 }[/math]. לצורך כך, נוכיח שהם קבוצה בת"ל ופורשת.

   הם בבירור בת"ל, כחלק מבסיס.

   נוסיף להם פונקציונל [math]\displaystyle{ \psi=\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n\in U^0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] נקבל \begin{displaymjx}0=\psi\left(v_i \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_n \right )}_{0}=\alpha_i\end{displaymjx} ולכן [math]\displaystyle{ \psi }[/math] נפרש על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} }[/math].

   לסיכום, נקבל \begin{displaymjx}\dim U+\dim U^0=\left|B'\right|+\left | \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} \right |=k+\left(n-k \right )=n=\dim V\end{displaymjx}

   ∎

4. לכל [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת-מרחב, [math]\displaystyle{ U^{00}=E\left[U \right ]=\left \{ \hat{u}\mid u\in U \right \} }[/math].

   הוכחה.

   הוכחנו הכלה ושוויון מימדים, ולכן יש שוויון.

   ∎

חזרה למערכי ההרצאה