חזרה למערכי ההרצאה
המרחב הדואלי
תזכורת:
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] בתור מרחב וקטורי מעל עצמו ([math]\displaystyle{ \dim_{\mathbb{F}}\mathbb{F}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \left\{1\right\} }[/math] בסיס). אומרים שהעתקה לינארית [math]\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] היא פונקציונל לינארי על [math]\displaystyle{ V }[/math].
הגדרה
[math]\displaystyle{ \} }[/math]אוסף כל הפונקציונלים הלינאריים [math]\displaystyle{ V^*=\{\varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] נקרא המרחב הדואלי ל-[math]\displaystyle{ V }[/math]. מגדירים עליו פעולות חיבור וכפל בסקלר, כך שהוא הופך למרחב וקטורי, בצורה הבאה: \begin{displaymjx}\left(\varphi_1+\varphi_2 \right )\left(v \right )=\varphi_1\left(v \right )+\varphi_2\left(v \right )\quad\left(\alpha\varphi \right )\left(v \right )=\alpha\varphi\left(v \right )\end{displaymjx}
הערה
[math]\displaystyle{ \dim V^*=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V^* }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V }[/math].
כעת נרצה לכל בסיס להתאים בסיס במרחב הדואלי, "בסיס דואלי". ההתאמה הזו תייצר לנו בהמשך את האיזומורפיזם בין המרחב למרחב הדואלי.
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נגדיר בסיס [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], שייקרא הבסיס הדואלי ל-[math]\displaystyle{ B }[/math], על ידי \begin{displaymjx}\varphi_i\left(v_j \right )=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix}
1,\quad i=j\\
0,\quad i\neq j
\end{matrix} \right.\end{displaymjx} לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,n }[/math], ונמשיך כל [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] לפי לינאריות. כלומר, אם ניקח וקטור כלשהו [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], אזי \begin{displaymjx}\varphi_i\left(v \right )=
\alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0}
+\cdots+
\alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1}
+\cdots+
\alpha_n\underbrace{\varphi_i\left(v_n \right )}_{0}
=\alpha_i\end{displaymjx}
מההגדרה קיבלנו את הנוסחה \begin{displaymjx}\left[v \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\varphi_1\left(v \right )\\
\vdots\\
\varphi_n\left(v \right )
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
נוודא כעת שהבסיס הדואלי הוא אכן בסיס.
- בת"ל
נניח כי [math]\displaystyle{ \alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n=0 }[/math].
נתבונן בערך של שני הצדדים עבור הווקטור [math]\displaystyle{ v_i }[/math]: \begin{displaymjx}\alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0}
+\cdots+
\alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1}
+\cdots+
\alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0}
=0\Rightarrow\alpha_i=0\end{displaymjx}
לכן [math]\displaystyle{ B^* }[/math] בת"ל. [math]\displaystyle{ \dim V^*=n }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \left|B^*\right|=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ B^* }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math]. בעיקרון, נוכל להפסיק פה, אך כעת, באמצעות הפרישה, נפתח נוסחה חשובה:
- פורשת
אם [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \varphi=\varphi\left(v_1 \right )\varphi_1+\cdots+\varphi\left(v_n \right )\varphi_n }[/math].
בדיקה: נציב [math]\displaystyle{ v_i }[/math] בשני הצדדים, ונקבל: \begin{displaymjx}\varphi\left(v_1 \right )\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0}
+\cdots+
\varphi\left(v_i \right )\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1}
+\cdots+
\varphi\left(v_n \right )\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0}
=\varphi\left(v_i \right )\end{displaymjx}
אם כן, נקבל נוסחה חשובה נוספת: \begin{displaymjx}\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left(\begin{matrix}
\varphi\left(v_1 \right )\\
\vdots\\
\varphi\left(v_n \right )
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
הערה
ציינו שתי נוסחאות חשובות קודם, ובעזרתן נבנה איזומורפיזם מפורש [math]\displaystyle{ V\rightarrow V^* }[/math]. ניקח בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נניח שנתון [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], כך שווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא \begin{displaymjx}\left[v\right]_B=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix}
\varphi_1\left(v \right )\\
\vdots\\
\varphi_n\left(v \right )
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} נשלח את [math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \varphi }[/math], כך שווקטור הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B^* }[/math] זהה לווקטור הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ v }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B }[/math], ז"א \begin{displaymjx}\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix}
\varphi\left(v_1 \right )\\
\vdots\\
\varphi\left(v_n \right )
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
אם כן, הקונסטרוקציה של האיזומורפיזם תלויה בבחירת הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]; בחירות שונות של בסיסים יובילו לאיזומורפיזמים שונים.
נרצה לראות כיצד שינוי הבסיס משפיע על הבסיס הדואלי, ונמצא קשר בין מטריצות המעבר המתאימות.
משפט
יהיו [math]\displaystyle{ B,\tilde{B} }[/math] בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math], יהיו [math]\displaystyle{ B^*,\tilde{B}^* }[/math] הבסיסים הדואליים המתאימים של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], תהי [math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \tilde{B} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ C' }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B^* }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \tilde{B}^* }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ C'=\left(C^{-1}\right)^t=\left(C^t\right)^{-1} }[/math].
הוכחה.
נוכיח שמטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ \tilde{B}^* }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B^* }[/math] שווה ל-[math]\displaystyle{ C^t }[/math]. נסמן מטריצה זו ב-[math]\displaystyle{ C''=\left(C'\right)^{-1} }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ \tilde{B}=\left \{ w_1,\dots,w_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ \tilde{B}^*=\left \{ \psi_1,\dots,\psi_n \right \} }[/math]. אזי \begin{displaymjx}C''=\left(\begin{matrix}
| & & |\\
\left[\varphi_1 \right ]_{\tilde{B}^*} & \cdots & \left[\varphi_n \right ]_{\tilde{B}^*}\\
| & & |
\end{matrix} \right )=
\left(\begin{matrix}
\varphi_1\left(w_1 \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_1 \right )\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\varphi_1\left(w_n \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_n \right )
\end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix}
- & \left(\left[w_1 \right ]_B \right )^t & -\\
& \vdots & \\
- & \left(\left[w_n \right ]_B \right )^t & -
\end{matrix} \right )=
\left(\begin{matrix}
| & & |\\
\left[w_1 \right ]_B & \cdots &\left[w_n \right ]_B \\
| & & |
\end{matrix} \right )^t=C^t\end{displaymjx}
הוכחנו [math]\displaystyle{ C''=C^t }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C'=\left(C'' \right )^{-1}=\left(C^t \right )^{-1} }[/math].
∎
חזרה למערכי ההרצאה
