לינארית 2/המרחב הדואלי השני

חזרה למערכי ההרצאה

המרחב הדואלי השני

הגדרה

[math]\displaystyle{ V^{**}=\left ( V^* \right )^* }[/math] נקרא המרחב הדואלי השני ל-[math]\displaystyle{ V }[/math].

הערה

[math]\displaystyle{ \dim V^{**}=\dim V^*=\dim V }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V^{**}\cong V }[/math].

הערה

נחפש איזומורפיזם מהמרחב למרחב הדואלי השני. הפעם, לעומת האיזומורפיזם מהמרחב לדואלי שלו, אפשר לבנות איזומורפיזם זה בלי לבחור בסיס ב-[math]\displaystyle{ V }[/math] - איזומורפיזם טבעי.

נגדיר לכל [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math], [math]\displaystyle{ \hat{v}\left(\varphi \right )=\varphi\left(v \right ) }[/math] (איזומורפיזם ההצבה).

בדיקות:

1. נבדוק כי [math]\displaystyle{ \hat{v}\in V^{**} }[/math]. \begin{displaymjx}\hat{v}\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )=\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=\alpha\hat{v}\left(\varphi_1 \right )+\beta\hat{v}\left(\varphi_2 \right )\end{displaymjx}

2. נסמן [math]\displaystyle{ E:V\rightarrow V^{**} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ E\left(v\right)=\hat{v} }[/math]. נבדוק ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים.

   לינאריות

   נבדוק האם [math]\displaystyle{ E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right ) }[/math]. נחשב את הערך של שני הצדדים עבור איזשהו [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math]: \begin{displaymjx}E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )\left(\varphi \right )=\widehat{\left (\alpha v_1+\beta v_2 \right )}\left(\varphi \right )=\varphi\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha\varphi\left(v_1 \right )+\beta\varphi\left(v_2 \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\alpha\hat{v_1}\left(\varphi \right )+\beta\hat{v_2}\left(\varphi \right )=\left(\alpha\hat{v_1}+\beta\hat{v_2} \right )\left(\varphi \right )=\left(\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right ) \right )\left(\varphi \right )\end{displaymjx}

   חח"ע

   נבדוק ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] חח"ע, כלומר [math]\displaystyle{ \ker E=0 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ v\in\ker E }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \hat{v}=0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] הבסיס הדואלי. נשים לב כי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0=\hat{v}\left(\varphi_i\right)=\varphi_i\left(v\right) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left[v\right]_B=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v=0 }[/math].

   ממשפט המימדים, נקבל ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] העתקת על, ז"א [math]\displaystyle{ E }[/math] איזומורפיזם.

מסקנה

כל בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math] הוא דואלי לבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math].

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ B'=\left\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\right\} }[/math]. נתבונן בבסיס [math]\displaystyle{ B''=\left\{e_1,\dots,e_m\right\} }[/math] של [math]\displaystyle{ V^{**} }[/math] הדואלי ל-[math]\displaystyle{ B' }[/math]. ז"א, מתקיים [math]\displaystyle{ e_i\left(\varphi_j\right)=\delta_{ij} }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ v_i=E^{-1}\left(e_i\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ E^-1:V^{**}\rightarrow V }[/math] הוא האיזומורפיזם ההפוך ל-[math]\displaystyle{ E }[/math] שהגדרנו. נגדיר [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,dots,v_n\right\} }[/math], ונוכיח [math]\displaystyle{ B^*=B' }[/math]. אכן, מתקיים \begin{displaymjx}\varphi_j\left(v_i \right )=\hat{v_i}\left(\varphi_j \right )=e_i\left(\varphi_j \right )=\delta_{ij}\end{displaymjx}

∎

חזרה למערכי ההרצאה