לינארית 2/המרחב הניצב
המרחב הניצב
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, [math]\displaystyle{ \emptyset\neq S\subseteq V }[/math] קבוצה כלשהי. נגדיר [math]\displaystyle{ S^\perp=\left \{ v\in V\mid\forall u\in S: \left \langle v,u \right \rangle=0 \right \} }[/math]. [math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] נקרא המרחב הניצב ל-[math]\displaystyle{ S }[/math].
זוהי בעצם קבוצת כל הווקטורים המאונכים לכל [math]\displaystyle{ S }[/math].
[math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] תת-מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in S^\perp }[/math] ואם [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{F} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ u\in S }[/math], אזי:
[math]\displaystyle{ \left \langle \alpha_1v_1+\alpha_2v_2,u \right \rangle=\alpha_1\left \langle v_1,u \right \rangle+\alpha_2\left \langle v_2,u \right \rangle=\alpha_1\cdot 0+\alpha_2\cdot 0=0 }[/math]
∎
[math]\displaystyle{ S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \langle v,u \right \rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) }[/math], כולל [math]\displaystyle{ u\in S }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v\in S^\perp }[/math]. אם [math]\displaystyle{ v\in S^\perp }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \langle v,u \right \rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in S }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ u\in\operatorname{Span}\left(S\right) }[/math], ז"א שמתקיים [math]\displaystyle{ u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_i\in S }[/math]. לכן, \begin{displaymjx}\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0\end{displaymjx}
∎