חזרה למערכי ההרצאה
המשמעות הגיאומטרית של דטרמיננטה
נחזור לתהליך גראם-שמידט, [math]\displaystyle{ v_i'=v_i-\pi\left(v_i\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \pi }[/math] היא העתקה ההטלה על תת-המרחב הנפרש על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_{i-1}' \right \} }[/math].
נסמן ב-[math]\displaystyle{ C }[/math] את מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] ל- [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math]. לכן \begin{displaymjx}C=\left ( \begin{matrix}
1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & 1
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} ז"א ש-[math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצה משולשת עליונה, ועל האלכסון הראשי יש יחידות.
המעבר הבא - נרמול הבסיס [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math] - מתואר על ידי המטריצה האלכסונית \begin{displaymjx}D=\left ( \begin{matrix}
\frac{1}{\left \| v_1' \right \|} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \frac{1}{\left \| v_n' \right \|}
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
לכן, מעבר מבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] לבסיס אורתונורמלי מתואר על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ DC }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ G_B }[/math] מטריצת הגראם של הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math], אזי, לפי משפט שהוכחנו: \begin{displaymjx}I=\left(DC \right )^tG_B\overline{\left(DC \right )}=C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C}\end{displaymjx} נפעיל דטרמיננטה, ונקבל: \begin{displaymjx}\det I=\det\left (C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C} \right )\end{displaymjx} \begin{displaymjx}1=1\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot\det G_B\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot1\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\det G_B=\left \| v_1' \right \|^2\cdots\left \| v_n' \right \|^2\end{displaymjx}
מסקנה
\begin{displaymjx}\det G_B\in\mathbb{R}_{\ge0}\end{displaymjx}
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], נניח [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] קבוצת וקטורים. נגדיר מקבילון [math]\displaystyle{ P }[/math] על ידי \begin{displaymjx}P=\left \{ \left.\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\right|0\leq\alpha_i\leq1 \right \}\end{displaymjx}
הגדרה
נניח ש-[math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ונגדיר את נפח המקבילון הנוצר על ידם להיות \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}\end{displaymjx}
משפט
אם [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ P }[/math] המקבילון הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] המקבילון הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ h=v_n-\pi_{\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}}\left(v_n \right ) }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\operatorname{vol}\left(S \right )\cdot\left \| h \right \|\end{displaymjx}
הוכחה.
נסמן ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] את מטריצת המעבר מהבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1,\dots,v_{n-1},h \right \} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מהצורה \begin{displaymjx}A=\left(\begin{matrix}
1 & & 0 & \star\\
& \ddots & & \vdots\\
& & 1 & \star\\
& & & 1
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
מטריצת גראם יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] היא \begin{displaymjx}G_{B'}=\left(\begin{matrix}
M_{nn}\left(G_B\right )& 0\\
0 & \left \| h \right \|^2
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} כאשר [math]\displaystyle{ M_nn\left(G_B\right) }[/math] מסמן את המינור ה-[math]\displaystyle{ n,n }[/math] מ-[math]\displaystyle{ G_B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ G_B }[/math] בלי השורה ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-ית ובלי העמודה ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-ית (הצורה ככה כי [math]\displaystyle{ h }[/math] מאונך לשאר הווקטורים). אם כן, \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left (\overline{A}G_{B'}A^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det G_{B'}\det A^t}=\sqrt{\det G_{B'}}=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )\left \| h \right \|^2}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )}\left \| h \right \|=\operatorname{vol}\left(S \right )\left \| h \right \|\end{displaymjx}
∎
משפט
אם [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ואם [math]\displaystyle{ E=\left \{ e_1,\dots,e_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי, נסמן ב-[math]\displaystyle{ E }[/math] את מטריצת המעבר ביניהם. אזי \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P_B \right )=\left | \det A \right |\end{displaymjx}
הוכחה.
\begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left(\overline{A}G_EA^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det I\det A^t}=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sqrt{\overline{\det A}\det A}=\sqrt{\left | \det A \right |^2}=\left | \det A \right |\end{displaymjx}
∎
חזרה למערכי ההרצאה
