תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית מגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math]. [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right)=\det\left(xI_n-A)\right) }[/math] נקרא הפולינום האופייני של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math].
חשוב לשים לב שזהו פולינום; האיברים במטריצה [math]\displaystyle{ xI_n-A }[/math] הם פולינומים לכל היותר ממעלה 1. דטרמיננטה היא, בסך הכל, סכום של מכפלות של איברים מתוך המטריצה. לכן, גם התוצאה היא פולינום.
פולינום זה אמור להיות מוכר; כאשר דיברנו על ערכים עצמיים ועל וקטורים עצמיים, הוא היה חלק מהאלגוריתם למציאת ערכים עצמיים.
לפולינום האופייני התכונות הבאות:
הוכחה.
לפי טענה שראינו בהרצאה הראשונה.
המטריצה \begin{displaymjx}xI-A=\left(\begin{matrix} x-\lambda_1 & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & x-\lambda_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} גם היא משולשת, ולכן הדטרמיננטה שלה היא מכפלת איברי האלכסון. אם כן, \begin{displaymjx}p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A \right )=\prod_{i=1}^n\left(x-\lambda_i \right )\end{displaymjx}
\begin{displaymjx}p_A\left(x\right)=\det\left ( xI_n-A \right )=\det\left ( \begin{matrix} x-a_{11} & \cdots &-a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{n1} & \cdots & x-a_{nn} \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sum_{\sigma\in S_n}sgn\left ( \sigma \right )c_{1\sigma\left ( 1 \right )}\dots c_{n\sigma\left ( n \right )}=x^n+x^{n-1}\left ( -a_{11}-a_{22}-\cdots-a_{nn} \right )+\cdots+a_0\end{displaymjx}
מהפיתוח הנ"ל, סעיפים 3 ו-4 נובעים באופן מיידי. נותר להוכיח את סעיף 5:
[math]\displaystyle{ a_0=p_A\left ( 0 \right )=\det\left ( 0I_n-A \right )=\det\left ( -A \right )=\left ( -1 \right )^n\det\left ( A \right ) }[/math]
∎
