לינארית 2/הפולינום המינימלי
הפולינום המינימלי
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n\left(\mathbb{F}\right) }[/math]. הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא פולינום [math]\displaystyle{ m_A\left(x\right) }[/math], כך שמתקיימים התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ m_A }[/math] הוא פולינום מאפס ל-[math]\displaystyle{ A }[/math].
- [math]\displaystyle{ m_A }[/math] הוא פולינום מתוקן.
- לכל פולינום [math]\displaystyle{ f }[/math] מאפס ל-[math]\displaystyle{ A }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \deg \left (m_A \right )\leq\deg \left (f \right ) }[/math].
לכאורה, נראה שאין הכרח שיהיה פולינום מינימלי כזה. עם זאת, המשפט הבא יוכיח לא רק שקיים פולינום מינימלי לכל מטריצה, אלא שהוא גם יחיד.
הפולינום המינימלי [math]\displaystyle{ m_A }[/math] קיים והוא יחיד.
הוכחה.
- קיום
- יש פולינומים מאפסים (למשל, האופייני, לפי קאלי-המילטון). אם הפולינום המאפס איננו מתוקן, אזי נתקן אותו בעזרת חילוק במקדם הראשי. נבחר את המעלה הנמוכה ביותר, ונקבל פולינום מינימלי.
- יחידות
- נניח [math]\displaystyle{ m,\tilde{m} }[/math] שניהם פולינומים מינימליים. לכן, [math]\displaystyle{ \deg \left (m \right )=\deg\left (\tilde{m} \right ) }[/math]. שניהם מתוקנים, לכן אם [math]\displaystyle{ m\neq\tilde{m} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f=m-\tilde{m} }[/math] פולינום מאפס ממעלה נמוכה יותר, בסתירה. לכן [math]\displaystyle{ m=\tilde{m} }[/math], והוכחנו יחידות.
∎
[math]\displaystyle{ \deg \left (m \right )\leq n }[/math].
הוכחה.
לפי משפט קאלי-המילטון, [math]\displaystyle{ p_A }[/math] הוא פולינום מאפס, ולכן [math]\displaystyle{ \deg \left (m \right )\leq\deg\left(p_A \right )=n }[/math].
∎
עד כה הגדרנו את הפולינום המינימלי של מטריצה, והוכחנו שהוא קיים ויחיד. נשאלת שאלה טבעית - האם יש קשר בין הפולינום האופייני לבין הפולינום המינימלי?
הפולינום המינימלי [math]\displaystyle{ m_A }[/math] מחלק את הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ p_A }[/math].
הוכחה.
נשתמש בחילוק עם שארית: \begin{displaymjx}p_A\left(x \right )=q\left(x \right )\cdot m_A\left(x \right )+r\left(x \right )\end{displaymjx} אם נציב את המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math], השוויון יישמר.
[math]\displaystyle{ p_A\left(A \right )=q\left(A \right )\cdot m_A\left(A \right )+r\left(A \right ) }[/math], מכאן [math]\displaystyle{ 0=0+r\left(A \right ) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ r\left(A \right )=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ r\neq 0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \deg\left(r \right )< \deg\left(m_A \right ) }[/math], בסתירה להגדרת הפולינום המינימלי. לכן [math]\displaystyle{ r=0 }[/math], זאת אומרת [math]\displaystyle{ p_A=q\cdot m_A }[/math], כדרוש.
∎
השורשים של [math]\displaystyle{ m_A }[/math] הם ערכים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math].
בהמשך נראה שהכיוון ההפוך נכון גם הוא, ולסיכום - השורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים.
יהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math] פולינום מאפס למטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_n\left(\mathbb{F}\right) }[/math], ונניח [math]\displaystyle{ \deg\left(f\right)\leq n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n }[/math].
הוכחה.
נחפש מטריצות ריבועיות [math]\displaystyle{ B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right ) }[/math] שעבורן \begin{displaymjx}B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}\end{displaymjx} מקיימת את המשוואה הבאה: \begin{displaymjx}\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I\end{displaymjx} נסמן [math]\displaystyle{ f\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n }[/math]. נשווה את המקדמים לפני החזקות של x:
| [math]\displaystyle{ x^0 }[/math] | [math]\displaystyle{ x^1 }[/math] | [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \cdots }[/math] | [math]\displaystyle{ x^{n-1} }[/math] | [math]\displaystyle{ x^n }[/math] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ -AB_0 }[/math] | [math]\displaystyle{ B_0-AB_1 }[/math] | [math]\displaystyle{ B_1-AB_2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \cdots }[/math] | [math]\displaystyle{ B_{n-2}-AB_{n-1} }[/math] | [math]\displaystyle{ B_{n-1} }[/math] | שמאל |
| [math]\displaystyle{ a_0I }[/math] | [math]\displaystyle{ a_1I }[/math] | [math]\displaystyle{ a_2I }[/math] | [math]\displaystyle{ \cdots }[/math] | [math]\displaystyle{ a_{n-1}I }[/math] | [math]\displaystyle{ a_nI }[/math] | ימין |
משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל \begin{displaymjx}B_{n-1}=a_nI,B_{n-2}=a_{n-1}I+AB_{n-1},\dots,B_1=a_2I+AB_2,B_0=a_1I+AB_1\end{displaymjx} אם נכפול את המקדם של [math]\displaystyle{ x^i }[/math] ב-[math]\displaystyle{ A^i }[/math], ונחבר את הכל, נקבל [math]\displaystyle{ 0=0 }[/math]. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על [math]\displaystyle{ \left(\star \right ) }[/math]: \begin{displaymjx}\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )\end{displaymjx} על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל \begin{displaymjx}\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix} f\left(x \right ) & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & &f\left(x \right ) \end{matrix} \right )\end{displaymjx}
נסמן [math]\displaystyle{ \det B\left(x\right)=g\left(x\right) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n }[/math], כדרוש.
∎
כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math], ונקבל את המסקנה הבאה:
\begin{displaymjx}m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n\end{displaymjx}
ל-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] ול-[math]\displaystyle{ m_A\left(x\right) }[/math] יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים.
נציג דוגאות לפולינום מינימלי.
- אם [math]\displaystyle{ A=\lambda I_n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ m_A\left(x\right)=x-\lambda }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ A=J_n\left(\lambda\right) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n }[/math].
הוכחה.
- קל לראות כי [math]\displaystyle{ x-\lambda }[/math] הוא פולינום מאפס ל-[math]\displaystyle{ \lambda I_n }[/math], והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי.
- אם [math]\displaystyle{ A=J_n\left(\lambda\right) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n }[/math]. לכן, הפולינום המינימלי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math] כלשהו. נציב את [math]\displaystyle{ A }[/math], ונקבל \begin{displaymjx}m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &1 & & 0\\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots &1 \\ 0 & & & 0 \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k\end{displaymjx} על ידי חישוב, ניתן לוודא כי [math]\displaystyle{ N^2\neq0 }[/math], [math]\displaystyle{ N^3\neq 0 }[/math], וכן הלאה, עד ש-[math]\displaystyle{ N^{n-1}\neq 0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ N^n=0 }[/math]. רוצים [math]\displaystyle{ m_A\left(A \right )=N^k=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n\leq k }[/math]. אבל גם אמרנו [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ k=n }[/math], ומכאן מקבלים הדרוש.
∎