לינארית 2/הפירוק הניצב
פירוק ניצב
משפט הפירוק הניצב
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי לכל תת-מרחב [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] מתקיים: \begin{displaymjx}V=U\oplus U^\perp\end{displaymjx}
הוכחה.
נבחר ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_k \right \} }[/math], ונשלים אותו עד בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math], ונוכיח שזה בסיס של [math]\displaystyle{ U^\perp }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math]. [math]\displaystyle{ v_{k+1},\dots,v_n\in U^\perp }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math].
בכיוון ההפוך, יהי [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math]. נרשום [math]\displaystyle{ w=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\alpha_{k+1}v_{k+1}+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ונכפול (במובן מכפלה פנימית) עם [math]\displaystyle{ v_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math].
אם כן, לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ 0=\left \langle w,v_i \right \rangle=\alpha_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math].
מכאן נובע ש-[math]\displaystyle{ V=U+U^\perp }[/math]. נותר להוכיח [math]\displaystyle{ U\cap U^\perp=\left\{0\right\} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ w\in U }[/math], [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left \langle w,w \right \rangle=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w=0 }[/math].
בסך הכל, [math]\displaystyle{ V=U\oplus U^\perp }[/math].
∎
אם [math]\displaystyle{ \dim U=k }[/math], [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \dim U^\perp=n-k }[/math].
\begin{displaymjx}\left ( U^\perp \right )^\perp=U\end{displaymjx}
הוכחה.
נוכיח בשתי דרכים:
[math]\displaystyle{ \left ( U^\perp \right )^\perp\oplus U^\perp=V }[/math], וכן [math]\displaystyle{ U\oplus U^\perp=V }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ \left ( U^\perp \right )^\perp=U }[/math], מיחידות המשלים האורתוגונלי.
על פי ההגדרה, [math]\displaystyle{ U\subseteq\left(U^\perp\right)^\perp }[/math]: ניקח [math]\displaystyle{ v\in U }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left\langle w,v\right\rangle=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v\in\left(U^\perp\right)^\perp }[/math].
כמו כן [math]\displaystyle{ \dim\left ( U^\perp \right )^\perp=n-\left(n-k \right )=k }[/math], ולכן הם שווים.
∎
כאשר הגדרנו הטלת וקטור על תת-מרחב, ההגדרה הייתה תלויה בבסיס. כעת, לאחר שהוכחנו את משפט הפירוק הניצב, נוכל להוכיח שאין תלות בבסיס.
תהי [math]\displaystyle{ \pi_B:V\rightarrow U }[/math] העתקה ההטלה על תת-המרחב [math]\displaystyle{ U }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אורתוגונלי של [math]\displaystyle{ U }[/math]. נתבונן בבסיס אורתוגונלי אחר, [math]\displaystyle{ B' }[/math], של [math]\displaystyle{ U }[/math], ובהעתקת ההטלה המתאימה [math]\displaystyle{ \pi_{B'} }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. אזי הן [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math] והן [math]\displaystyle{ \pi_{B'}\left(v\right) }[/math] שייכים ל-[math]\displaystyle{ U }[/math].
לפי הערה שהוכחנו, [math]\displaystyle{ v-\pi_B\left(v \right ),v-\pi_{B'}\left(v \right )\in U^\perp }[/math]. מתקיים: \begin{displaymjx}v=\underbrace{\pi_B\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_B\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}v=\underbrace{\pi_{B'}\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_{B'}\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}\end{displaymjx}
לכן, ממשפט הפירוק הניצב, נקבל [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v \right )=\pi_{B'}\left(v \right ) }[/math].
ההיטל [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math] של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על תת-המרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] אינו תלוי בבחירה של הבסיס האורתוגונלי [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math].
אם [math]\displaystyle{ u\perp v }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \| u\pm v \right \|^2=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2 }[/math].
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \| u\pm v \right \|^2= \left \langle u\pm v,u\pm v \right \rangle= \left \langle u,u \right \rangle\pm\underbrace{\left \langle u,v \right \rangle}_{=0}\pm\underbrace{\left \langle v,u \right \rangle}_{=0} +\left \langle v,v \right \rangle= \left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2\end{displaymjx}
∎
המשמעות הגיאומטרית של היטל
ההיטל של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על תת-מרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] הא הווקטור ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] הקרוב ביותר לווקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] (מבחינת המרחק המושרה - [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y \right )=\left \| x-y \right \| }[/math]).
ז"א, אם [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \pi:U\rightarrow V }[/math] ההטלה, אזי לכל [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \rho\left(v,\pi\left(v \right ) \right )\leq\rho\left(v,u \right ) }[/math].
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \| v-\pi\left(v \right ) \right \|^2\leq\left \| v-\pi\left(v \right ) \right \|^2+\left \| \pi\left(v \right )-u \right \|^2=\left \| \left(v-\pi\left(v \right ) \right )+\left(\pi\left(v \right )-u \right ) \right \|^2=\left \| v-u \right \|^2\end{displaymjx}
ולכן [math]\displaystyle{ \rho\left(v,\pi\left(v \right ) \right )\leq\rho\left(v,u \right ) }[/math].
∎