לינארית 2/הריבוי האלגברי והריבוי הגיאומטרי
הריבוי האלגברי והריבוי הגיאומטרי
כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן:
יהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ע"ע של אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math].
הריבוי האלגברי [math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא החזקה הגדולה ביותר [math]\displaystyle{ \left(x-\lambda\right)^k }[/math], כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right ) }[/math] (במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם [math]\displaystyle{ x-\lambda }[/math]).
הריבוי הגיאומטרי [math]\displaystyle{ m }[/math] של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ m=\dim V_\lambda\left(T \right ) }[/math] (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שהם בלתי תלויים לינארית).
לכל [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math],
[math]\displaystyle{ 1\leq k_\lambda\leq n }[/math]
הוכחה.
[math]\displaystyle{ 1\leq k_\lambda }[/math] כי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שורש של הפולינום האופייני.
[math]\displaystyle{ k_\lambda\leq n }[/math] על פי השוואת דרגות.
∎
[math]\displaystyle{ 1\leq m_\lambda\leq n }[/math]
הוכחה.
[math]\displaystyle{ 1\leq m_\lambda }[/math] כי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע, ולכן קיים [math]\displaystyle{ 0\neq v\in V_\lambda\left(T \right ) }[/math].
[math]\displaystyle{ m_\lambda\leq n }[/math] כי [math]\displaystyle{ V_\lambda\left(T \right ) }[/math] תת-מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
∎
כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר.
לכל [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ע"ע של אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ 1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n }[/math].
הוכחה.
נתבונן ב-[math]\displaystyle{ V_\lambda\left(T \right ) }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right ) }[/math]. נבחר בסיס [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_m \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V_\lambda\left(T \right ) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ m<n }[/math], נשלים את הבסיס הזה לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]: [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \} }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_B }[/math]. מתקיים: \begin{displaymjx}T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?\end{displaymjx} אם כן, המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הינה מהצורה \begin{displaymjx}A=\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \lambda & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda \end{matrix} & A_2\\ \hline 0 & A_1 \end{array}\right)\end{displaymjx}
נסתכל על הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ T }[/math]: \begin{displaymjx}p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\det\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & x-\lambda \end{matrix} & -A_2\\ \hline 0 & xI-A_1 \end{array}\right)=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\det\left( \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & x-\lambda \end{matrix}\right )\det\left(xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^mg\left(x \right )\end{displaymjx} אם כן, [math]\displaystyle{ k_\lambda\ge m=m_\lambda }[/math].
∎
יש מקרים שבהם [math]\displaystyle{ m_\lambda<k_\lambda }[/math]. למשל - בלוק ז’ורדן; עבור [math]\displaystyle{ J_n\left(\lambda\right) }[/math], ראינו כי [math]\displaystyle{ m_\lambda=1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ k_\lambda=n }[/math].
בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה.
כעת נמצא קריטריון ללכסינות, המסתמך על הריבויים האלגברי והגיאומטרי של הערכים העצמיים של המטריצה )או האופרטור(. ניזכר בדוגמה של בלוק ז’ורדן; הוא לא היה לכסין, מפני שלא היו מספיק וקטורים עצמיים הקשורים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. אם כן, נרצה שלכל ערך עצמי יהיו מספיק וקטורים עצמיים, ואת זאת נביע במשפט הבא:
נניח ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם ורק אם לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math], הריבוי הגיאומטרי [math]\displaystyle{ m_\lambda }[/math] שווה לריבוי האלגברי [math]\displaystyle{ k_\lambda }[/math].
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. אזי למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יש בסיס [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נחלק את [math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ s }[/math] תתי קבוצות, לפי הע"ע השונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_s }[/math], ונסמנן [math]\displaystyle{ B_1,\dots,B_s }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] נסמן ב-[math]\displaystyle{ m_i }[/math] את הריבוי הגיאומטרי שלו וב-[math]\displaystyle{ k_i }[/math] את הריבוי האלגברי שלו. נתבונן בסכום [math]\displaystyle{ m_1+\cdots+m_s=? }[/math]. מתקיים \begin{displaymjx}m_1+\cdots+m_s=\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_s}\ge\left|B_1\right|+\cdots+\left|B_s\right|=n\end{displaymjx} מצד שני, [math]\displaystyle{ k_1+\cdots+k_s=\deg p_A\left(x\right)=n }[/math].
כמו כן, [math]\displaystyle{ k_i\ge m_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math].
אם כן, עד כה ידוע כי [math]\displaystyle{ n=k_1+\cdots+k_s\ge m_1+\cdots+m_s=n }[/math]. לכן, \begin{displaymjx}k_1+\cdots+k_s=m_1+\cdots+m_s\end{displaymjx} ומכאן שמתקיים [math]\displaystyle{ k_1=m_1,\dots,k_s=m_s }[/math], כדרוש.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
נניח שלכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math] (לפי הסימונים הקודמים), [math]\displaystyle{ m_i=k_i }[/math], ונוכיח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. כדי לעשות זאת, נוכיח של-[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] קיים בסיס המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
מההנחה [math]\displaystyle{ m_i=k_i }[/math], נקבל [math]\displaystyle{ m_1+\cdots+m_s=k_1+\cdots+k_s=n }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math], נתבונן במרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ m_i=\dim V_{\lambda_i} }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math] נבנה בסיס [math]\displaystyle{ B_i }[/math] של [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left|B_1\right|=m_1,\dots,\left|B_s\right|=m_s }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ B=\bigcup_{j=1}^sB_j }[/math], ונוכיח ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא הבסיס הנדרש. [math]\displaystyle{ B }[/math] מורכב מו"ע, על פי הבנייה.
נסמן [math]\displaystyle{ B_1=\left \{ v_1^{\left ( 1 \right )},\dots,v_1^{\left(m_1 \right )} \right \},\dots,B_s=\left \{ v_s^{\left ( 1 \right )},\dots,v_s^{\left(m_s \right )} \right \} }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\left|B\right|=m_1+\cdots+m_s=n\end{displaymjx}
לכן, מספיק להוכיח ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל. ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math]: \begin{displaymjx}\left(\star\right)\quad\underbrace{\alpha_1^{\left(1 \right )}v_1^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_1^{\left(m_1 \right )}v_1^{\left(m_1 \right )}}_{w_1}+\cdots+\underbrace{\alpha_s^{\left(1 \right )}v_s^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_s^{\left(m_s \right )}v_s^{\left(m_s \right )}}_{w_s}=0\end{displaymjx} אזי [math]\displaystyle{ w_1+\cdots+w_s=0 }[/math], וכן לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ w_i\in V_{\lambda_i} }[/math], כלומר כל [math]\displaystyle{ w_i }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] או אפס.
אם [math]\displaystyle{ w_i=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha_i^{\left(1 \right )}v_i^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_i^{\left(m_i \right )}v_i^{\left(m_i \right )}=0 }[/math]. לכן, אם כל [math]\displaystyle{ w_i=0 }[/math], אז כל המקדמים בשוויון [math]\displaystyle{ \left(\star\right) }[/math] שווים לאפס, וסיימנו.
נניח בשלילה שיש כמה אינדקסים [math]\displaystyle{ i }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ w_i }[/math]-ים אלו הם ו"ע הקשורים ל-[math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math]. נסמן ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] את אוסף כל האינדקסים הנ"ל, ונקבל [math]\displaystyle{ \sum_{i\in I}w_i=0 }[/math], בסתירה לבת"ל של ו"ע הקשורים לע"ע שונים. הסתירה מוכיחה את הדרוש.
∎