לינארית 2/הרצאה 10
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
מרחבים עצמיים מוכללים
הוכחנו כי אם נצליח לפרק את המרחב שלנו לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, המטריצה המייצגת של אופרטור תהיה אלכסונית בלוקים. כעת נבנה את המרחבים האלו. במקרה של אופרטור לכסין, היו [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים עצמיים, ואז הפירוק היה בדיוק לסכום הישר של המרחבים העצמיים. עם זאת, במטריצות שאינן לכסינות (כמו בלוק ז’ורדן), אין מספיק וקטורים עצמיים, ולכן נכליל את ההגדרה ונגדיר:
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math], יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, ויהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math]. נגדיר \begin{displaymjx}K_\lambda=\ker\left [\left(T-\lambda I \right ) ^n \right ]\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] נקרא המרחב העצמי המוכלל של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
נעבור להגדרה אחרת, נוכיח עליה למה פשוטה ואז נחזור למושג שהגדרנו.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, ויהי [math]\displaystyle{ 0\ne v\in V }[/math]. קבוצה בת [math]\displaystyle{ m }[/math] איברים מהצורה [math]\displaystyle{ E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \} }[/math] נקראת מסלול מאורך [math]\displaystyle{ m }[/math], אם [math]\displaystyle{ T^{m-1}\left(v\right)\neq 0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ T^m\left(v\right)\neq 0 }[/math].
בסימונים הנ"ל, [math]\displaystyle{ E }[/math] קבוצה בת"ל.
הוכחה.
נניח ש-[math]\displaystyle{ \left(\star \right )\quad \alpha_0v+\alpha_1 T\left(v\right)+\cdots+\alpha_{m-1}T^{m-1}\left(v \right )=0 }[/math]. נפעיל [math]\displaystyle{ T^{m-1} }[/math]: \begin{displaymjx}T^{m-1}\left (\alpha_0v+\alpha_1 T\left(v\right)+\cdots+\alpha_{m-1}T^{m-1}\left(v \right ) \right )=T^{m-1}\left (0 \right )\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\alpha_0 \underbrace{T^{m-1}\left(v \right )}_{\neq0}+\underbrace{\alpha_1\cdot 0+\alpha_2\cdot 0+\cdots+\alpha_{m-1}\cdot 0}_{0}=0\end{displaymjx} לכן [math]\displaystyle{ \alpha_0=0 }[/math]. נציב ב-[math]\displaystyle{ \left(\star\right) }[/math], ונקבל \begin{displaymjx}\left(\star \right )\quad \alpha_1 T\left(v\right)+\cdots+\alpha_{m-1}T^{m-1}\left(v \right )=0\end{displaymjx} הפעם נפעיל [math]\displaystyle{ T^{m-2} }[/math], ועל ידי חישוב דומה נקבל [math]\displaystyle{ \alpha_1=0 }[/math]. כך ממשיכים, ומקבלים \begin{displaymjx}\alpha_0=\cdots=\alpha_{m-1}=0\end{displaymjx}
∎
נחזור למרחב העצמי המוכלל.
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, ויהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math].
- [math]\displaystyle{ K_\lambda=\left \{ v\in V\mid \exists k\in\mathbb{N}:\left(T-\lambda I \right )^kv=0 \right \} }[/math].
- [math]\displaystyle{ V_\lambda\subseteq K_\lambda }[/math].
- [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] תת-מרחב אינווריאנטי תחת [math]\displaystyle{ T }[/math], ולכן גם תחת כל אופרטור בצורה [math]\displaystyle{ p\left(T\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ p\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math] פולינום כלשהו.
הוכחה.
נסמן [math]\displaystyle{ K_\lambda'=\left \{ v\in V\mid \exists k\in\mathbb{N}:\left(T-\lambda I \right )^kv=0 \right \} }[/math], ונוכיח [math]\displaystyle{ K_\lambda=K_\lambda' }[/math].
- [math]\displaystyle{ \boxed{\subseteq} }[/math]
טריוויאלי, אם ניקח [math]\displaystyle{ k=n }[/math].
- [math]\displaystyle{ \boxed{\supseteq} }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda' }[/math]. אם [math]\displaystyle{ v=0 }[/math], הוא נמצא בכל תת-מרחב, ולכן נניח [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math]. נבחר את ה-[math]\displaystyle{ k }[/math] הקטן ביותר שעבורו [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I\right)^k\left(v\right)=0 }[/math], ונתבונן במסלול \begin{displaymjx}E=\left \{ \left(T-\lambda I \right )^{k-1}\left(v \right ),\dots,\left(T-\lambda I \right )\left(v \right ),v \right \}\end{displaymjx} (הוא מסלול, לפי הבחירה של [math]\displaystyle{ k }[/math]). [math]\displaystyle{ E }[/math] בת"ל, [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math]. אם כן, \begin{displaymjx}\left(T-\lambda I\right)^n\left(v \right )=\left(T-\lambda I \right )^{n-k}\left(T-\lambda I\right)^k\left(v \right )=\left(T-\lambda I \right )^{n-k} \left(0 \right )=0\end{displaymjx}
לפי הסעיף הקודם, \begin{displaymjx}V_\lambda=\left\{v\in V\mid T\left(v \right ) =\lambda v\right \}=\left \{v\in V\mid \left(T-\lambda I \right )\left(v \right )=0 \right \}\subseteq K_\lambda\end{displaymjx}
קודם נוכיח ש-[math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] אינווריאנטי תחת [math]\displaystyle{ T }[/math]. נשתמש בעובדה הבאה: האופרטורים [math]\displaystyle{ T }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] מתחלפים, כלומר [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I \right )T=T^2-\lambda T=T\left(T-\lambda I \right ) }[/math]; לכן, גם כל חזקה של האחד מתחלפת עם חזקה של השני.
יהי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda }[/math], ונוכיח [math]\displaystyle{ T\left(v\right)\in K_\lambda }[/math]. \begin{displaymjx}\left(T-\lambda I \right )^nT\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=T\left(0\right )=0\end{displaymjx} עובדה כללית: אם [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] תת-מרחב אינווריאנטי תחת [math]\displaystyle{ T }[/math], ואם [math]\displaystyle{ p\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math] פולינום כלשהו, אזי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינווריאנטי גם תחת [math]\displaystyle{ p\left(T\right) }[/math]. נוכיח - יהי [math]\displaystyle{ v\in W }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ p\left(T\right)=\alpha_0I+\alpha_1T+\cdots+\alpha_sT^s }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\left (p\left(T\right) \right )\left(v \right ) =\underbrace{\alpha_0\underbrace{I\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W} +\underbrace{\alpha_1\underbrace{T\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W} +\cdots +\underbrace{\alpha_s\underbrace{T^s\left ( v \right )}_{\in W}}_{\in W}\end{displaymjx} כדרוש.
∎
- יהיו [math]\displaystyle{ \lambda,\mu\in\mathbb{F} }[/math] שני ערכים עצמיים שונים של [math]\displaystyle{ T }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ 0\neq v\in K_\lambda }[/math]. אזי \begin{displaymjx}K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0\end{displaymjx}
- יהיו [math]\displaystyle{ \lambda,\mu\in\mathbb{F} }[/math] שני ערכים עצמיים שונים של [math]\displaystyle{ T }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\} }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] אינווריאנטי. ניקח [math]\displaystyle{ p\left(T\right)=T-\mu I }[/math], ונקבל כי [math]\displaystyle{ \left(T-\mu I\right)\left(v\right)\in K_\lambda }[/math]. נוכיח [math]\displaystyle{ \left(T-\mu I\right)\left(v\right)\neq0 }[/math].
נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ \left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0 }[/math], לכן [math]\displaystyle{ T\left(v\right)=\mu v }[/math]. ניתן לבדוק כי אם ניקח פולינום [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n }[/math]. אם כן, נציב את [math]\displaystyle{ T }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n }[/math]. מכאן קיבלנו \begin{displaymjx}\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0} =\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}\end{displaymjx} בסתירה, כדרוש.
נניח שקיים [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda }[/math], [math]\displaystyle{ v\in K_\mu }[/math]. נוכיח ש-[math]\displaystyle{ v=0 }[/math].
נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math], ונתבונן בווקטורים הבאים: \begin{displaymjx}\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}, \dots, \underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}\end{displaymjx} בסתירה להנחה שלפיה [math]\displaystyle{ v\in K_\mu }[/math].
∎
הגדרנו את המרחב העצמי המוכלל כגרעין של האופרטור [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I\right)^n }[/math]. כעת הגיוני שנסתכל גם על התמונה של האופרטור, ונראה מה הקשר ביניהם.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math]. נסמן \begin{displaymjx}I_\lambda=\operatorname{im}\left[\left(T-\lambda I\right)^n\right]\end{displaymjx}
- [math]\displaystyle{ I_\lambda }[/math] תת-מרחב אינווריאנטי תחת [math]\displaystyle{ T }[/math].
- [math]\displaystyle{ V=K_\lambda\oplus I_\lambda }[/math].
תזכורת:
ניזכר במשפט הדרגה מלינארית 1 לצורך ההוכחה.
יהי [math]\displaystyle{ E:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, אזי [math]\displaystyle{ \dim V=\dim\left(\ker T \right )+\dim\left(\operatorname{im} T \right ) }[/math].
הוכחה.
כפי שציינו בהוכחת אחת הלמות הקודמות, [math]\displaystyle{ T }[/math] מתחלף עם [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] ועם כל חזקה שלו. לכן, אם [math]\displaystyle{ v\in I_\lambda }[/math], כלומר קיים [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I\right)^n\left(x\right)=v }[/math], אזי \begin{displaymjx}T\left(v \right )=T\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=\left(T-\lambda I \right )^n\left(T\left(x \right ) \right )\in I_\lambda\end{displaymjx}
נתחיל מלהוכיח ש-[math]\displaystyle{ K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\} }[/math], כלומר שהסכום ישר.
נניח ש-[math]\displaystyle{ v\in K_\lambda }[/math], [math]\displaystyle{ v\in I_\lambda }[/math]. אזי קיים [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ v=\left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right ) }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )=0 }[/math]. נקבל \begin{displaymjx}\left(T-\lambda I \right )^{2n}\left(x \right )=0\Leftarrow x\in K_\lambda\end{displaymjx} לכן, [math]\displaystyle{ \left(T-\lambda I \right )^n\left(x \right )=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] , ומכאן אכן [math]\displaystyle{ K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\} }[/math].
כעת נרצה להוכיח שהסכום (הישר) אכן מכסה את המרחב כולו. לצורך כך, נסתכל על המימדים. ניקח [math]\displaystyle{ E=\left(T-\lambda I\right)^n }[/math], ולפי התזכורת (משפט הדרגה להעתקות לינאריות), \begin{displaymjx}\dim V=\dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right )\end{displaymjx} מתקיים [math]\displaystyle{ K_\lambda\oplus I_\lambda\subseteq V }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \dim V=\dim\left(K_\lambda\oplus I_\lambda \right ) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ V=K_\lambda\oplus I_\lambda }[/math].
∎
אם [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור נילפוטנטי, [math]\displaystyle{ n=\dim V }[/math], אזי הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא \begin{displaymjx}p_T\left(x\right)=x^n\end{displaymjx}
הוכחה.
[math]\displaystyle{ T^s=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x^s }[/math] הוא פולינום מאפס ל-[math]\displaystyle{ T }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ m_T\left(x\right)|x^s }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ m_T\left(x\right)=x^k }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ p_T\left(x\right)|x^{kn} }[/math], ובנוסף [math]\displaystyle{ \deg\left(p_T\right)=n }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ p_T\left(x\right)=x^n }[/math].
∎
[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי.
שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה.