לינארית 2/הרצאה 13
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
משפט ז’ורדן - המשך
משפט ז’ורדן הנילפוטנטי - המשך
הוכחנו שצורת ז’ורדן של אופרטור נילפוטנטי קיימת. כעת, נוכיח כי היא יחידה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים). ניעזר לכך בלמה הבאה:
יהי [math]\displaystyle{ E=\left\{T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \} }[/math] מסלול מאורך [math]\displaystyle{ m }[/math], יהי [math]\displaystyle{ V_0=\operatorname{span}\left(E\right) }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ T=T|_{V_0} }[/math]. אזי
[math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )=\left\{\begin{matrix} 1,\quad j<m\\ 0,\quad j\ge m \end{matrix} \right . }[/math]
הוכחה.
נניח [math]\displaystyle{ j\ge m }[/math].
[math]\displaystyle{ T^m\left(v\right)=0\Rightarrow T^j\left(v \right )=0\Rightarrow\\\Rightarrow T^j\left[E \right ]=\left\{0 \right\}\Rightarrow \operatorname{im}T_0^j=\left\{0 \right \}\Rightarrow\dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )=0 }[/math]
נניח [math]\displaystyle{ j<m }[/math].
נתבונן בווקטורים [math]\displaystyle{ T\left(v \right ),\dots,T^{m-1}\left(v \right ) }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ \dim\left(\operatorname{im}T_0 \right )\ge m-1 }[/math].
לכן, [math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T_0 \right )+\left(m-1 \right )\leq\dim\left (\ker T_0 \right )+\dim\left(\operatorname{im}T_0 \right )=\dim V_0=m }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T_0 \right )\leq 1 }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )\leq 1 }[/math].
נתבונן בווקטור [math]\displaystyle{ T^{m-1}\left(v\right)\neq 0 }[/math] (לפי הגדרת המסלול). מצד שני, [math]\displaystyle{ T^{m-1}\left(v \right )=T^j\left(T^{m-j-1}\left(v \right ) \right )\operatorname{im}T_0^j }[/math], ובנוסף [math]\displaystyle{ T\left(T^{m-1}\left(v \right )\right)=T^m\left(v \right )=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T^{m-1}\left(v \right )\in\ker T }[/math], כדרוש.
∎
הגיע הזמן לעבור להוכחת היחידות של צורת ז’ורדן.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור נילפוטנטי מסדר [math]\displaystyle{ k }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס מז’רדן ל-[math]\displaystyle{ T }[/math]. אזי מספר המסלולים מכל אורך ב-[math]\displaystyle{ B }[/math] מוגדר באופן יחיד על ידי [math]\displaystyle{ T }[/math] (ולכן, מספר הבלוקים מכל גודל ב-[math]\displaystyle{ \left [ T \right ]_B }[/math] מוגדר ביחידות).
הוכחה.
נוכיח כי:
- המסלול הארוך ביותר ב-[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא מסדר [math]\displaystyle{ k }[/math].
- לכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,k }[/math], מספר המסלולים מאורך הגדול מ-[math]\displaystyle{ j }[/math] שווה ל-[math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T_0^j \right ) }[/math].
- לכן, מספר המסלולים מאורך [math]\displaystyle{ j }[/math] בדיוק שווה ל: \begin{displaymjx}\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^{j-1} \right )-\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )\end{displaymjx}
אם כל המסלולים ב-[math]\displaystyle{ B }[/math] הם מאורך קטן מ-[math]\displaystyle{ k }[/math], אזי [math]\displaystyle{ T^{k-1}=0 }[/math], ולכן סדר הנילפוטנטיות של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא [math]\displaystyle{ k-1 }[/math], בסתירה להנחה.
אם קיים מסלול מאורך גדול מ-[math]\displaystyle{ k }[/math], אז יחד עם [math]\displaystyle{ T^k=0 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] שייך למסלול, בסתירה להגדרת המסלול.
נסמן [math]\displaystyle{ E_1,\dots,E_r }[/math] המסלולים ב-[math]\displaystyle{ B }[/math]. נסמן לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,r }[/math], [math]\displaystyle{ V_i=\operatorname{span}\left(E_i\right) }[/math]. נתבונן בסכום הישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים \begin{displaymjx}V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r\end{displaymjx} נסמן לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,r }[/math], [math]\displaystyle{ T_i=T|_{V_i} }[/math].
לכן, לפי למה קודמת, \begin{displaymjx}\ker T=\ker T_1\oplus\cdots\oplus\ker T_r\end{displaymjx} וכן \begin{displaymjx}\operatorname{im}T=\operatorname{im}T_1\oplus\cdots\oplus\operatorname{im}T_r\end{displaymjx} לכן, לפי הלמה על חיתוך סכום ישר, נקבל כי \begin{displaymjx}\ker T\cap\operatorname{im}T^j=\left(\ker T_1\cap\operatorname{im}T_1^j \right )\oplus\cdots\oplus\left(\ker T_r\cap\operatorname{im}T_r^j \right )\end{displaymjx} לפי הלמה הקודמת, לכל [math]\displaystyle{ s=1,\dots,r }[/math], [math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T_s\cap\operatorname{im}T_s^j \right )=\left\{\begin{matrix} 1,\quad j<\ell\\ 0,\quad j\ge\ell \end{matrix}\right. }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ell }[/math] הוא אורך המסלול.
אם כן, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-[math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right ) }[/math], שזה הסכום על אורך כל המסלולים שסדרם גדול מ-[math]\displaystyle{ j }[/math], כדרוש.
מסקנה ישירה משני הסעיפים הקודמים.
∎
משפט ז’ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד
הוכחנו את משפט ז’ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר:
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-[math]\displaystyle{ T }[/math] הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא [math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda\right) }[/math]. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים.
הוכחה.
נתבונן באופרטור [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math]. הוא נילפוטנטי, כי לפי משפט קאלי-המילטון, \begin{displaymjx}\left(T-\lambda I\right)^n=p_T\left(T\right)=0\end{displaymjx} לפי משפט ז’ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה [math]\displaystyle{ J_m\left(0\right) }[/math]. במילים אחרות, קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך שמתקיים: \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(0 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(0 \right ) \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} ונקבל \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda \right ) \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} היחידות היא מסקנה מיידית מהיחידות במקרה הנילפוטנטי.
∎
משפט ז’ורדן הכללי
הגיע הזמן לשלב את כל המשפטים שהיו לנו עד כה למשפט האולטימטיבי - משפט ז’ורדן הכללי. במשפט זה נשתמש בפירוק של המרחב [math]\displaystyle{ V }[/math] לסכום ישר של המרחבים העצמיים המוכללים, ובכך נצמצם את האופרטור לאופרטורים בעלי ערך עצמי יחיד. הוכחנו עבורם את המשפט, וזה יוכיח את משפט ז’ורדן הכללי. עבור היחידות תידרש מעט עבודה, אבל גם היא תגיע.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי כך ש-[math]\displaystyle{ p_T\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] ניתן להצגה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה [math]\displaystyle{ J_{m_i}\left(\lambda_i\right) }[/math]. הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
הוכחה.
- קיום
נסמן [math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_s }[/math] הערכים העצמיים השונים של [math]\displaystyle{ T }[/math]. נתבונן בפירוק של [math]\displaystyle{ V }[/math] לסכום ישר של תתי-מרחבים עצמיים מוכללים: [math]\displaystyle{ V=K_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_s} }[/math]. הוא קיים בגלל ההנחה על הפולינום האופייני.
נתבונן, לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math], בצמצום [math]\displaystyle{ T_i=T|_{K_{\lambda_i}} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ T_i }[/math] יש ערך עצמי יחיד [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math], ולכן, לפי המשפט הקודם, [math]\displaystyle{ T }[/math] ניתן להצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה [math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda_i\right) }[/math].
נתבונן באיחוד הזר [math]\displaystyle{ B=B_1\cup\dots\cup B_s }[/math]. בבסיס זה, נקבל ל-[math]\displaystyle{ T }[/math] את הצורה הנדרשת.
- יחידות
יהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס מז’רדן ל-[math]\displaystyle{ T }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math].
נסדר את האיברים של [math]\displaystyle{ B }[/math], כך שכל הבלוקים מהצורה [math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda\right) }[/math] יופיעו בחלק השמאלי העליון. נקבל \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{array}{c|c}A_\lambda & 0 \\\hline 0 & A' \end{array} \right )\end{displaymjx} כאשר ב-[math]\displaystyle{ A_\lambda }[/math] יופיעו כל הבלוקים מהצורה [math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda\right) }[/math], וב-[math]\displaystyle{ A' }[/math] של שאר הערכים העצמיים.
הגודל של [math]\displaystyle{ A_\lambda }[/math] נקבע באופן יחיד על ידי [math]\displaystyle{ T }[/math], כי גודלו הוא בדיוק הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
אם נסמן [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A_\lambda=\left[T \right ]_{\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\} }[/math] אינווריאנטי. לאופרטור [math]\displaystyle{ T|_{\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}} }[/math] יש ערך עצמי יחיד, והמטריצה המייצגת שלו היא [math]\displaystyle{ A_\lambda }[/math]. לכן, לפי משפט היחידות לאופרטור עם ערך עצמי יחיד, מספר הבלוקים ב-[math]\displaystyle{ A_\lambda }[/math] מוגדר באופן יחיד על ידי [math]\displaystyle{ T }[/math], כדרוש.
∎
הוכחנו (בהצלחה) את צורת ז’ורדן (ואפילו שרדנו לספר על זה ולאמלל את הדורות הבאים עם ההוכחה). כעת, בעקבות ההוכחה ובעקבות הידע שלנו, נוכל לכתוב מספר מסקנות לגבי צורת ז’ורדן:
לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ T }[/math] מתקיים:
- סכום סדרי הבלוקים המתאימים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
- מספר הבלוקים בצורה [math]\displaystyle{ J_n\left(\lambda\right) }[/math] שווה לריבוי הגיאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
- ה-[math]\displaystyle{ m }[/math] הגדול ביותר כך ש-[math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda\right) }[/math] יופיע בצורת ז’ורדן הוא מעלת הגורם [math]\displaystyle{ \left(x-\lambda\right) }[/math] ב-[math]\displaystyle{ m_T\left(x\right) }[/math].
כל מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים דומה למטריצת ז’ורדן, וצורת הז’ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math] יחידה עד כדי סדר הבלוקים.