לינארית 2/הרצאה 20

ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה

סוגים מיוחדים של אופרטורים

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי. אומרים ש-[math]\displaystyle{ T }[/math]:

נורמלי, אם [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ T }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T^* }[/math] מתחלפים).
אוניטרי, אם [math]\displaystyle{ TT^*=I }[/math] (אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] - אומרים ש-[math]\displaystyle{ T }[/math] אורתוגונלי).
צמוד לעצמו, אם [math]\displaystyle{ T^*=T }[/math] (אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] - אומרים ש-[math]\displaystyle{ T }[/math] סימטרי).

הערה

כל אופרטור אוניטרי הוא נורמלי, וגם כל אופרטור צמוד לעצמו הוא נורמלי.

השם "אוניטרי" (ו"אורתוגונלי" מוכר לנו (גם "סימטרי") מתורת המטריצות, ולא סתם; אכן יש קשר בין המושגים. המשפט הבא יבטא את הקשר הזה.

משפט

אם [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור מאחד הסוגים הנ"ל (נורמלי, אוניטרי או צמוד לעצמו), ואם [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math], אזי המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_B }[/math] מקיימת את התכונה המתאימה, ז"א:

[math]\displaystyle{ AA^*=A^*A }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת נורמלית).
[math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת אוניטרית).
[math]\displaystyle{ A=A^* }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת צמודה לעצמה).

בכיוון ההפוך, אם [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה המקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל, אזי האופרטור הלינארי [math]\displaystyle{ T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n }[/math] המוגדר על ידי הנוסחה [math]\displaystyle{ L_A\left(v\right)=Av }[/math] מקיים את התכונה המתאימה.

הוכחה.

המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T^* }[/math] יחסית לבסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math] היא [math]\displaystyle{ A^*=\overline{A}^t }[/math], ומזה נובע הכל.

∎

הזהויות הפולריות

ננסה כעת לקחת נורמה על מרחב כלשהו [math]\displaystyle{ V }[/math] (מעל הממשיים או מעל המרוכבים, כמובן), ולשחזר ממנו את המכפלה הפנימית.

יהיו [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math]. נתבונן בנורמה [math]\displaystyle{ \left \| u+v \right \| }[/math]: \begin{displaymjx}\left \| u+v \right \|^2=\left \langle u+v,u+v \right \rangle=\left \langle u,u \right \rangle+\left \langle u,v \right \rangle+\left \langle v,u \right \rangle+\left \langle v,v \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left \| u \right \|^2+\overline{\left \langle u,v \right \rangle}+\left \langle u,v \right \rangle+\left \| v \right \|^2=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\operatorname{Re}\left (\left \langle u,v \right \rangle \right )\end{displaymjx}

מסקנה

זהות פולרית ממשית

אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right ) }[/math].

כעת נוכל להניח [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math], ונמשיך. נוכיח למה קצרה, שתעזור להקל את החישובים.

למה

\begin{displaymjx}\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )\end{displaymjx}

הוכחה.

על פי חצי-לינאריות, [math]\displaystyle{ \left \langle u,iv \right \rangle=\overline{i}\left \langle u,v \right \rangle=-i\left \langle u,v \right \rangle }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \left \langle u,v \right \rangle=x+iy }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=y }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,iv \right \rangle=-i\left (x+iy \right )=y-ix }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\left(\left \langle u,iv \right \rangle \right )=y }[/math].

∎

נשים לב כי [math]\displaystyle{ \left \| iv \right \|^2=\left \langle iv,iv \right \rangle=i\overline{i}\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2 }[/math], ולכן, על פי הזהויות שהוכחנו קודם, \begin{displaymjx}\operatorname{Im}\left(\left \langle u,v \right \rangle \right )=\frac{1}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )\end{displaymjx}

מסקנה

זהות פולרית מרוכבת

אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle u,v \right \rangle=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )\end{displaymjx}

מסקנה

מכפלה פנימית ניתנת לשחזור החל מנורמה.

חזרה לאופרטורים המיוחדים

ננסה כעת למצוא קריטריונים לנורמליות ולאוניטריות של אופרטור.

משפט

קריטריון לנורמליות

אופרטור [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] הוא נורמלי אם ורק אם לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \| }[/math].

הוכחה.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]

נניח ש-[math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, אזי [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T }[/math]. \begin{displaymjx}\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left (v \right ),T\left (v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\left \| T^*\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T^*\left(v \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,\left(T^* \right )^*T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,TT^*\left(v \right ) \right \rangle\end{displaymjx}

נקבל שוויון [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \| }[/math].

[math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]

נניח שלכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \| }[/math].

נוכיח קודם שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle }[/math]. ניעזר בזהות הפולרית: \begin{displaymjx}\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )\end{displaymjx}

לפי אותם החישובים ל-[math]\displaystyle{ T^* }[/math], \begin{displaymjx}\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| T^*\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T^*\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T^*\left(v \right ) \right \|^2 \right )\end{displaymjx}

נקבל שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle }[/math]. מצד שני, על פי הגדרת ההעתקה הצמודה, מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle\end{displaymjx}

לכן [math]\displaystyle{ \left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math].

כלומר, לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right ) \right \rangle=0 }[/math].

נבחר [math]\displaystyle{ u=T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right ) }[/math]. לפי האי-שליליות, נקבל [math]\displaystyle{ T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right )=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T^*T-TT^*=0 }[/math] אופרטור האפס, לכן [math]\displaystyle{ T^*T=TT^* }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי.

∎

משפט קריטריונים לאוניטריות

התכונות הבאות של אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] שקולות:

[math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי.
[math]\displaystyle{ T }[/math] שומר מכפלה פנימית, כלומר לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle }[/math].
[math]\displaystyle{ T }[/math] שומר נורמה, כלומר לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \| }[/math].
[math]\displaystyle{ T }[/math] שומר מרחקים, כלומר לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\rho\left(u,v \right ) }[/math].

הוכחה.

[math]\displaystyle{ \boxed{2\Leftarrow1} }[/math]: נניח [math]\displaystyle{ T^*T=TT^*=I }[/math], ונחשב לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math]: \begin{displaymjx}\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,I\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ \boxed{1\Leftarrow2} }[/math]: נניח שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \left \langle u,T^*T\left(v \right )-v \right \rangle=0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ u=T^*T\left(v\right)-v }[/math], ונקבל שלכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ T^*T\left(v\right)-v=0 }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ T^*T=I }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי.
[math]\displaystyle{ \boxed{4\Leftarrow3} }[/math]: נניח [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math]: \begin{displaymjx}\rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\left \| T\left(u \right )-T\left(v \right ) \right \|=\left \| T\left(u-v \right ) \right \|=\left \| u-v \right \|=\rho\left(u,v \right )\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ \boxed{3\Leftarrow4} }[/math]: נניח שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\rho\left(u,v \right ) }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]: \begin{displaymjx}\left \| T\left(v \right ) \right \|=\rho\left(T\left(v \right ),0 \right )=\rho\left(v,0 \right )=\left \| v \right \|\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ \boxed{3\Leftarrow2} }[/math]: נניח [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math], וניקח [math]\displaystyle{ u=v }[/math]. נקבל שלכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], \begin{displaymjx}\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \|\Leftarrow\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ \boxed{2\Leftarrow3} }[/math]: נניח [math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle }[/math]: \begin{displaymjx}\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u + iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )=\left \langle u,v \right \rangle\end{displaymjx}

∎

הערה

תזכורת - זווית בין וקטורים

נזכיר כי עבור [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], אם [math]\displaystyle{ 0\neq u,v\in V }[/math], אזי הזווית [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] בין הווקטורים [math]\displaystyle{ u,v }[/math] היא המספר היחיד באינטרוול [math]\displaystyle{ \left[0,\pi\right] }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|} }[/math].

נראה כעת מה הקשר בין אופרטורים נורמליים ואוניטריים לזוויות.

משפט

אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, ואם [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] שונים מאפס, אזי הזווית בין [math]\displaystyle{ T\left(u\right),T\left(v\right) }[/math] שווה לזווית בין [math]\displaystyle{ T^*\left(u\right),T^*\left(v\right) }[/math].

הוכחה.

נשים לב כי אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, אזי [math]\displaystyle{ \left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ \left \| T\left(u \right ) \right \|=\left \| T^*\left(u \right ) \right \| }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \| }[/math]. אם כן, \begin{displaymjx}\cos\sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T\left(u \right ) \right \|\left \| T\left(v \right ) \right \|}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\cos\sphericalangle \left(T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T^*\left(u \right ) \right \|\left \| T^*\left(v \right ) \right \|}\end{displaymjx} ולכן הזוויות שוות.

∎

הערה

כל אופרטור אוניטרי [math]\displaystyle{ T }[/math] שומר זוויות, כלומר [math]\displaystyle{ \sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\sphericalangle \left(u,v \right ) }[/math].

הוכחה.

\begin{displaymjx}\cos\sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T\left(u \right ) \right \|\left \| T\left(v \right ) \right \|}=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|}=\cos\sphericalangle \left(u,v \right )\end{displaymjx}

∎

נשאלת השאלה - לאחר המשפט הקודם, שבו הראינו שקילויות רבות לאופרטור אוניטרי, האם גם כאן אין שקילות? התשובה היא שאין. ניתן דוגמה.

דוגמה

ניקח [math]\displaystyle{ T\left(v\right)=2v }[/math]. הוא שומר זוויות, אבל איננו אוניטרי; [math]\displaystyle{ TT^*\left(v\right)=4v }[/math].

ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה