לינארית 2/הרצאה 23

המרחב הדואלי

תזכורת:

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] בתור מרחב וקטורי מעל עצמו ([math]\displaystyle{ \dim_{\mathbb{F}}\mathbb{F}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \left\{1\right\} }[/math] בסיס). אומרים שהעתקה לינארית [math]\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] היא פונקציונל לינארי על [math]\displaystyle{ V }[/math].

הגדרה

[math]\displaystyle{ \} }[/math]אוסף כל הפונקציונלים הלינאריים [math]\displaystyle{ V^*=\{\varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] נקרא המרחב הדואלי ל-[math]\displaystyle{ V }[/math]. מגדירים עליו פעולות חיבור וכפל בסקלר, כך שהוא הופך למרחב וקטורי, בצורה הבאה: \begin{displaymjx}\left(\varphi_1+\varphi_2 \right )\left(v \right )=\varphi_1\left(v \right )+\varphi_2\left(v \right )\quad\left(\alpha\varphi \right )\left(v \right )=\alpha\varphi\left(v \right )\end{displaymjx}

הערה

[math]\displaystyle{ \dim V^*=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V^* }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V }[/math].

כעת נרצה לכל בסיס להתאים בסיס במרחב הדואלי, "בסיס דואלי". ההתאמה הזו תייצר לנו בהמשך את האיזומורפיזם בין המרחב למרחב הדואלי.

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נגדיר בסיס [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], שייקרא הבסיס הדואלי ל-[math]\displaystyle{ B }[/math], על ידי \begin{displaymjx}\varphi_i\left(v_j \right )=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right.\end{displaymjx} לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,n }[/math], ונמשיך כל [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] לפי לינאריות. כלומר, אם ניקח וקטור כלשהו [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], אזי \begin{displaymjx}\varphi_i\left(v \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_i\left(v_n \right )}_{0} =\alpha_i\end{displaymjx}

מההגדרה קיבלנו את הנוסחה \begin{displaymjx}\left[v \right ]_B=\left(\begin{matrix} \varphi_1\left(v \right )\\ \vdots\\ \varphi_n\left(v \right ) \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

נוודא כעת שהבסיס הדואלי הוא אכן בסיס.

בת"ל

נניח כי [math]\displaystyle{ \alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n=0 }[/math].

נתבונן בערך של שני הצדדים עבור הווקטור [math]\displaystyle{ v_i }[/math]: \begin{displaymjx}\alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0} =0\Rightarrow\alpha_i=0\end{displaymjx}

לכן [math]\displaystyle{ B^* }[/math] בת"ל. [math]\displaystyle{ \dim V^*=n }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \left|B^*\right|=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ B^* }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math]. בעיקרון, נוכל להפסיק פה, אך כעת, באמצעות הפרישה, נפתח נוסחה חשובה:

פורשת

אם [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \varphi=\varphi\left(v_1 \right )\varphi_1+\cdots+\varphi\left(v_n \right )\varphi_n }[/math].

בדיקה: נציב [math]\displaystyle{ v_i }[/math] בשני הצדדים, ונקבל: \begin{displaymjx}\varphi\left(v_1 \right )\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \varphi\left(v_i \right )\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \varphi\left(v_n \right )\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0} =\varphi\left(v_i \right )\end{displaymjx}

אם כן, נקבל נוסחה חשובה נוספת: \begin{displaymjx}\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left(\begin{matrix} \varphi\left(v_1 \right )\\ \vdots\\ \varphi\left(v_n \right ) \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

הערה

ציינו שתי נוסחאות חשובות קודם, ובעזרתן נבנה איזומורפיזם מפורש [math]\displaystyle{ V\rightarrow V^* }[/math]. ניקח בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נניח שנתון [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], כך שווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא \begin{displaymjx}\left[v\right]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \varphi_1\left(v \right )\\ \vdots\\ \varphi_n\left(v \right ) \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נשלח את [math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \varphi }[/math], כך שווקטור הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B^* }[/math] זהה לווקטור הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ v }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B }[/math], ז"א \begin{displaymjx}\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \varphi\left(v_1 \right )\\ \vdots\\ \varphi\left(v_n \right ) \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

אם כן, הקונסטרוקציה של האיזומורפיזם תלויה בבחירת הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]; בחירות שונות של בסיסים יובילו לאיזומורפיזמים שונים.

נרצה לראות כיצד שינוי הבסיס משפיע על הבסיס הדואלי, ונמצא קשר בין מטריצות המעבר המתאימות.

משפט

יהיו [math]\displaystyle{ B,\tilde{B} }[/math] בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math], יהיו [math]\displaystyle{ B^*,\tilde{B}^* }[/math] הבסיסים הדואליים המתאימים של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], תהי [math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \tilde{B} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ C' }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B^* }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \tilde{B}^* }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ C'=\left(C^{-1}\right)^t=\left(C^t\right)^{-1} }[/math].

הוכחה.

נוכיח שמטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ \tilde{B}^* }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B^* }[/math] שווה ל-[math]\displaystyle{ C^t }[/math]. נסמן מטריצה זו ב-[math]\displaystyle{ C''=\left(C'\right)^{-1} }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ \tilde{B}=\left \{ w_1,\dots,w_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ \tilde{B}^*=\left \{ \psi_1,\dots,\psi_n \right \} }[/math]. אזי \begin{displaymjx}C''=\left(\begin{matrix} | & & |\\ \left[\varphi_1 \right ]_{\tilde{B}^*} & \cdots & \left[\varphi_n \right ]_{\tilde{B}^*}\\ | & & | \end{matrix} \right )= \left(\begin{matrix} \varphi_1\left(w_1 \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_1 \right )\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \varphi_1\left(w_n \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_n \right ) \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} - & \left(\left[w_1 \right ]_B \right )^t & -\\ & \vdots & \\ - & \left(\left[w_n \right ]_B \right )^t & - \end{matrix} \right )= \left(\begin{matrix} | & & |\\ \left[w_1 \right ]_B & \cdots &\left[w_n \right ]_B \\ | & & | \end{matrix} \right )^t=C^t\end{displaymjx}

הוכחנו [math]\displaystyle{ C''=C^t }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C'=\left(C'' \right )^{-1}=\left(C^t \right )^{-1} }[/math].

∎

המרחב הדואלי השני

הגדרה

[math]\displaystyle{ V^{**}=\left ( V^* \right )^* }[/math] נקרא המרחב הדואלי השני ל-[math]\displaystyle{ V }[/math].

הערה

[math]\displaystyle{ \dim V^{**}=\dim V^*=\dim V }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V^{**}\cong V }[/math].

הערה

נחפש איזומורפיזם מהמרחב למרחב הדואלי השני. הפעם, לעומת האיזומורפיזם מהמרחב לדואלי שלו, אפשר לבנות איזומורפיזם זה בלי לבחור בסיס ב-[math]\displaystyle{ V }[/math] - איזומורפיזם טבעי.

נגדיר לכל [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math], [math]\displaystyle{ \hat{v}\left(\varphi \right )=\varphi\left(v \right ) }[/math] (איזומורפיזם ההצבה).

בדיקות:

נבדוק כי [math]\displaystyle{ \hat{v}\in V^{**} }[/math]. \begin{displaymjx}\hat{v}\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )=\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=\alpha\hat{v}\left(\varphi_1 \right )+\beta\hat{v}\left(\varphi_2 \right )\end{displaymjx}
נסמן [math]\displaystyle{ E:V\rightarrow V^{**} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ E\left(v\right)=\hat{v} }[/math]. נבדוק ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים.

לינאריות

נבדוק האם [math]\displaystyle{ E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right ) }[/math]. נחשב את הערך של שני הצדדים עבור איזשהו [math]\displaystyle{ \varphi\in V^* }[/math]: \begin{displaymjx}E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )\left(\varphi \right )=\widehat{\left (\alpha v_1+\beta v_2 \right )}\left(\varphi \right )=\varphi\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha\varphi\left(v_1 \right )+\beta\varphi\left(v_2 \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\alpha\hat{v_1}\left(\varphi \right )+\beta\hat{v_2}\left(\varphi \right )=\left(\alpha\hat{v_1}+\beta\hat{v_2} \right )\left(\varphi \right )=\left(\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right ) \right )\left(\varphi \right )\end{displaymjx}

חח"ע

נבדוק ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] חח"ע, כלומר [math]\displaystyle{ \ker E=0 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ v\in\ker E }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \hat{v}=0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] הבסיס הדואלי. נשים לב כי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0=\hat{v}\left(\varphi_i\right)=\varphi_i\left(v\right) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left[v\right]_B=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v=0 }[/math].

ממשפט המימדים, נקבל ש-[math]\displaystyle{ E }[/math] העתקת על, ז"א [math]\displaystyle{ E }[/math] איזומורפיזם.

מסקנה

כל בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math] הוא דואלי לבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math].

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V^* }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ B'=\left\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\right\} }[/math]. נתבונן בבסיס [math]\displaystyle{ B''=\left\{e_1,\dots,e_m\right\} }[/math] של [math]\displaystyle{ V^{**} }[/math] הדואלי ל-[math]\displaystyle{ B' }[/math]. ז"א, מתקיים [math]\displaystyle{ e_i\left(\varphi_j\right)=\delta_{ij} }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ v_i=E^{-1}\left(e_i\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ E^-1:V^{**}\rightarrow V }[/math] הוא האיזומורפיזם ההפוך ל-[math]\displaystyle{ E }[/math] שהגדרנו. נגדיר [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,dots,v_n\right\} }[/math], ונוכיח [math]\displaystyle{ B^*=B' }[/math]. אכן, מתקיים \begin{displaymjx}\varphi_j\left(v_i \right )=\hat{v_i}\left(\varphi_j \right )=e_i\left(\varphi_j \right )=\delta_{ij}\end{displaymjx}

∎

מאפס

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי, ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] תת-קבוצה. נגדיר \begin{displaymjx}S^0=\left \{ \varphi\in V^*\mid \forall v\in S:\varphi\left(v \right )=0 \right \}\end{displaymjx} כלומר, זה אוסף כל הפונקציונלים הלינאריים המתאפסים על כל [math]\displaystyle{ S }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S^0 }[/math] נקרא המאפס של [math]\displaystyle{ S }[/math].

הערה

תכונות המאפס:

[math]\displaystyle{ S^0\subseteq V^* }[/math] הוא תת-מרחב.

הוכחה.

אם [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2\in S^0 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in S }[/math] מתקיים \begin{displaymjx}\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=0\end{displaymjx}

∎
[math]\displaystyle{ S^0=\left (\operatorname{Span}S \right )^0 }[/math]

הוכחה.

נוכיח באמצעות הכלה דו-כיוונית.

[math]\displaystyle{ \boxed{\supseteq} }[/math]

ההכלה הזו ברורה, כי אם [math]\displaystyle{ \varphi\in\left (\operatorname{Span}S \right )^0 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Span}S }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \varphi\left(v\right)=0 }[/math], ובפרט זה נכון עבור [math]\displaystyle{ v\in S }[/math].

[math]\displaystyle{ \boxed{\subseteq} }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ \varphi\in S^0 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Span}S }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ v=\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_k\in S }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\varphi\left(v \right )=\varphi\left(\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_kv_k \right )=\alpha_1\varphi\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_k\varphi\left(v_k \right )=0\end{displaymjx} וקיבלנו הדרוש.

∎
אם [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת-מרחב, אזי [math]\displaystyle{ \dim U+\dim U^0=\dim V }[/math].

הוכחה.

ניקח בסיס [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math], ונשלים אותו לבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \} }[/math] הבסיס הדואלי של [math]\displaystyle{ B }[/math]. נסתכל על הפונקציונלים [math]\displaystyle{ \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} }[/math], ונוכיח שהם בסיס של [math]\displaystyle{ U^0 }[/math]. לצורך כך, נוכיח שהם קבוצה בת"ל ופורשת.

הם בבירור בת"ל, כחלק מבסיס.

נוסיף להם פונקציונל [math]\displaystyle{ \psi=\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n\in U^0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] נקבל \begin{displaymjx}0=\psi\left(v_i \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_n \right )}_{0}=\alpha_i\end{displaymjx} ולכן [math]\displaystyle{ \psi }[/math] נפרש על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} }[/math].

לסיכום, נקבל \begin{displaymjx}\dim U+\dim U^0=\left|B'\right|+\left | \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} \right |=k+\left(n-k \right )=n=\dim V\end{displaymjx}

∎
לכל [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת-מרחב, [math]\displaystyle{ U^{00}=E\left[U \right ]=\left \{ \hat{u}\mid u\in U \right \} }[/math].

הוכחה.

הוכחנו הכלה ושוויון מימדים, ולכן יש שוויון.

∎

ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה