לינארית 2/הרצאה 5

ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה

חזרה ללכסינות

נחזור ללכסינות, ונמצא שני קריטריונים נוספים ללכסינות של מטריצה; האחד קשור בערכים עצמיים, והשני - בריבויים שלהם.

כעת נמצא קריטריון ללכסינות, המסתמך על הריבויים האלגברי והגיאומטרי של הערכים העצמיים של המטריצה )או האופרטור(. ניזכר בדוגמה של בלוק ז’ורדן; הוא לא היה לכסין, מפני שלא היו מספיק וקטורים עצמיים הקשורים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. אם כן, נרצה שלכל ערך עצמי יהיו מספיק וקטורים עצמיים, ואת זאת נביע במשפט הבא:

משפט

נניח ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם ורק אם לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math], הריבוי הגיאומטרי [math]\displaystyle{ m_\lambda }[/math] שווה לריבוי האלגברי [math]\displaystyle{ k_\lambda }[/math].

הוכחה.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]

נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. אזי למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יש בסיס [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נחלק את [math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ s }[/math] תתי קבוצות, לפי הע"ע השונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_s }[/math], ונסמנן [math]\displaystyle{ B_1,\dots,B_s }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] נסמן ב-[math]\displaystyle{ m_i }[/math] את הריבוי הגיאומטרי שלו וב-[math]\displaystyle{ k_i }[/math] את הריבוי האלגברי שלו. נתבונן בסכום [math]\displaystyle{ m_1+\cdots+m_s=? }[/math]. מתקיים \begin{displaymjx}m_1+\cdots+m_s=\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_s}\ge\left|B_1\right|+\cdots+\left|B_s\right|=n\end{displaymjx} מצד שני, [math]\displaystyle{ k_1+\cdots+k_s=\deg p_A\left(x\right)=n }[/math].

כמו כן, [math]\displaystyle{ k_i\ge m_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math].

אם כן, עד כה ידוע כי [math]\displaystyle{ n=k_1+\cdots+k_s\ge m_1+\cdots+m_s=n }[/math]. לכן, \begin{displaymjx}k_1+\cdots+k_s=m_1+\cdots+m_s\end{displaymjx} ומכאן שמתקיים [math]\displaystyle{ k_1=m_1,\dots,k_s=m_s }[/math], כדרוש.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]

נניח שלכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math] (לפי הסימונים הקודמים), [math]\displaystyle{ m_i=k_i }[/math], ונוכיח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. כדי לעשות זאת, נוכיח של-[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] קיים בסיס המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].

מההנחה [math]\displaystyle{ m_i=k_i }[/math], נקבל [math]\displaystyle{ m_1+\cdots+m_s=k_1+\cdots+k_s=n }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math], נתבונן במרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ m_i=\dim V_{\lambda_i} }[/math].

לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math] נבנה בסיס [math]\displaystyle{ B_i }[/math] של [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left|B_1\right|=m_1,\dots,\left|B_s\right|=m_s }[/math].

נגדיר [math]\displaystyle{ B=\bigcup_{j=1}^sB_j }[/math], ונוכיח ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא הבסיס הנדרש. [math]\displaystyle{ B }[/math] מורכב מו"ע, על פי הבנייה.

נסמן [math]\displaystyle{ B_1=\left \{ v_1^{\left ( 1 \right )},\dots,v_1^{\left(m_1 \right )} \right \},\dots,B_s=\left \{ v_s^{\left ( 1 \right )},\dots,v_s^{\left(m_s \right )} \right \} }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\left|B\right|=m_1+\cdots+m_s=n\end{displaymjx}

לכן, מספיק להוכיח ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל. ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math]: \begin{displaymjx}\left(\star\right)\quad\underbrace{\alpha_1^{\left(1 \right )}v_1^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_1^{\left(m_1 \right )}v_1^{\left(m_1 \right )}}_{w_1}+\cdots+\underbrace{\alpha_s^{\left(1 \right )}v_s^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_s^{\left(m_s \right )}v_s^{\left(m_s \right )}}_{w_s}=0\end{displaymjx} אזי [math]\displaystyle{ w_1+\cdots+w_s=0 }[/math], וכן לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,s }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ w_i\in V_{\lambda_i} }[/math], כלומר כל [math]\displaystyle{ w_i }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] או אפס.

אם [math]\displaystyle{ w_i=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha_i^{\left(1 \right )}v_i^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_i^{\left(m_i \right )}v_i^{\left(m_i \right )}=0 }[/math]. לכן, אם כל [math]\displaystyle{ w_i=0 }[/math], אז כל המקדמים בשוויון [math]\displaystyle{ \left(\star\right) }[/math] שווים לאפס, וסיימנו.

נניח בשלילה שיש כמה אינדקסים [math]\displaystyle{ i }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ w_i }[/math]-ים אלו הם ו"ע הקשורים ל-[math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math]. נסמן ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] את אוסף כל האינדקסים הנ"ל, ונקבל [math]\displaystyle{ \sum_{i\in I}w_i=0 }[/math], בסתירה לבת"ל של ו"ע הקשורים לע"ע שונים. הסתירה מוכיחה את הדרוש.

∎

שילוש מטריצות

סיימנו לדבר על לכסון מטריצות; הקריטריונים שבידינו ללכסון מטריצות הם רחבים ומספקים. עם זאת, ראינו שלא תמיד ניתן ללכסן מטריצות - למשל, ראינו את בלוק ז’ורדן. נרצה לדבר על מושג "חלש" יותר מלכסון, כזה שיהיה גם למטריצות שאינן לכסינות וגם למטריצות לכסינות. ואם לא מטריצה אלכסונית, אז ננסה משולשת (=משולשית):

הגדרה

אומרים ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] מטריצה משולשת. המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] נקראת המטריצה המשלשת.

בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:

הערה

אם [math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצה משולשת עליונה, אזי [math]\displaystyle{ C }[/math] דומה למטריצה משולשת תחתונה.

הוכחה.

נגדיר את המטריצה \begin{displaymjx}P=\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים [math]\displaystyle{ i+j=n+1 }[/math], ובשאר אפסים).

קל לבדוק כי [math]\displaystyle{ P^2=I }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ P^{-1}=P }[/math].

נסתכל על [math]\displaystyle{ P^{-1}CP }[/math]. מתקיים \begin{displaymjx}\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} c_{11} & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & c_{nn} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}= \left ( \begin{matrix} 0 & & c_{nn}\\ & \dots & \\ c_{11} & & \star \end{matrix} \right ) \left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} c_{nn} & &0 \\ & \ddots & \\ \star & & c_{11} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}.

∎

הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו.

משפט

מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש אם ורק אם [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

הוכחה.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]

נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש, זאת אומרת [math]\displaystyle{ A\sim C }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] משולשת. אזי, \begin{displaymjx}p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} x-c_{11} & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & x-c_{nn} \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )\end{displaymjx} כדרוש.

[math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]

נניח ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

יהי [math]\displaystyle{ \left(x-\lambda\right) }[/math] אחד מהגורמים, כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ v }[/math] ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

נשלים את הקבוצה [math]\displaystyle{ \left\{v\right\} }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \} }[/math]. נסמן ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] את מטריצת המעבר בין הבסיסים (הסטנדרטי ו-[math]\displaystyle{ B }[/math]). אזי יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] נקבל: \begin{displaymjx}P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} \lambda & \star & \cdots & \star\\ 0 & & & \\ \vdots & & \tilde{A} & \\ 0 & & & \end{matrix} \right )=A_1\end{displaymjx}

לכן, [math]\displaystyle{ p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right ) }[/math].

אם כן, [math]\displaystyle{ p_{\tilde{A}}\left(x\right) }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים. נשלים את ההוכחה באינדוקציה.

עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] אין מה להוכיח.

נניח שהמשפט נכון ל-[math]\displaystyle{ n-1 }[/math], ונוכיח ל-[math]\displaystyle{ n }[/math]. בסימונים הנ"ל, [math]\displaystyle{ \tilde{A} }[/math] ניתנת לשילוש, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ Q }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Q^{-1}\tilde{A}Q }[/math] משולשת.

נגדיר \begin{displaymjx}C=P\cdot \left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )^{-1}P^{-1}AP\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q^{-1} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &\tilde{A} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &Q^{-1}\tilde{A}Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \lambda & & & \star\\ & \star & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \star \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

כדרוש.

∎

ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה