לינארית 2/הרצאה 8
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
סכום ישר של תתי-מרחבים
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U_1,\dots,U_k\subseteq V }[/math] תתי-מרחבים של [math]\displaystyle{ V }[/math].
[math]\displaystyle{ W=U_1+U_2+\cdots+U_k }[/math] הוא סכום ישר, אם לכל [math]\displaystyle{ i=2,\dots,k }[/math], הסכום \begin{displaymjx}\left (\left(U_1+U_2 \right )+\cdots+U_i \right )\end{displaymjx} הוא ישר (ז"א שלכל [math]\displaystyle{ i=2,\dots,k }[/math], מתקיים: [math]\displaystyle{ \left (\left(U_1+U_2 \right )+\cdots+U_{i-1} \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \} }[/math]).
הסימון הוא [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math].
נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, [math]\displaystyle{ V }[/math], כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום.
אם בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא איחוד זר של הקבוצות [math]\displaystyle{ B_1,\dots,B_k }[/math], ואם לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], [math]\displaystyle{ U_i=\operatorname{span}\left(B_i\right) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math].
הוכחה.
נתחיל מלהוכיח ש-[math]\displaystyle{ V=U_1+\cdots+U_k }[/math], ז"א שכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] ניתן להצגה כסכום \begin{displaymjx}x=u_1+\cdots+u_k\end{displaymjx} כך שלכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math]. זה נובע מההצגה של [math]\displaystyle{ x }[/math] כצירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].
נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך \begin{displaymjx}W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i\end{displaymjx} נניח שקיים [math]\displaystyle{ x\in \tilde{W} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x\in U_i }[/math]. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} }[/math], כלומר גם כסכום [math]\displaystyle{ x=u_1+\cdots+u_{i-1} }[/math], כאשר לכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,i-1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ u_j\in U_j }[/math], והוא צירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B_j }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ x }[/math] ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B_i }[/math], כי [math]\displaystyle{ x\in U_i }[/math].
עם זאת, מתקיים [math]\displaystyle{ \left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset }[/math]. לכן, מיחידות ההצגה של [math]\displaystyle{ x }[/math] כצירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B }[/math], נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].
∎
נראה דוגמה לסכום ישר, המבוססת על הלמה שהוכחנו. עבור [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math], נגדיר את תתי-המרחבים [math]\displaystyle{ U_1=span\left \{ \left(1,0,0 \right ) \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ U_2=span\left \{ \left(0,1,0 \right ) \right \} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ U_3=span\left \{ \left(0,0,1 \right ) \right \} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus U_2\oplus U_3 }[/math].
ייתכן המצב שבו הסכום [math]\displaystyle{ U_1+U_2+U_3 }[/math] איננו ישר, אך כל אחד מהסכומים [math]\displaystyle{ U_1+U_2 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1+U_3 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ U_2+U_3 }[/math] ישר.
למשל: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1=span\left \{ \left(1,0 \right ) \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ U_2=span\left \{ \left(0,1 \right ) \right \} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ U_3=span\left \{ \left(1,1 \right ) \right \} }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ W=U_1+\cdots+U_k }[/math] סכום של תתי-מרחבים של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי התנאים הבאים שקולים:
- הסכום [math]\displaystyle{ W=U_1+\cdots+U_k }[/math] הוא ישר.
- נניח כי מתקיים [math]\displaystyle{ u_1+u_2+\cdots+u_k=0 }[/math], כאשר לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math], אזי [math]\displaystyle{ u_1=\cdots=u_k=0 }[/math].
- לכל [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] יש הצגה יחידה כסכום [math]\displaystyle{ w=u_1+u_2+\cdots+u_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math].
- לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \left(U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k\right)\cap U_i=\emptyset }[/math].
- לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in S_k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ W=U_{\sigma\left(1 \right )}\oplus\cdots\oplus U_{\sigma\left(k \right )} }[/math].
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{2\Leftarrow1} }[/math]
נניח ש-[math]\displaystyle{ u_1+\cdots+u_k=0 }[/math], לכן [math]\displaystyle{ \underbrace{u_1+\cdots+u_{k-1}}_{\in U_1+\cdots+U_{k-1}}=\underbrace{-u_k}_{\in U_k} }[/math]. אבל לפי הגדרת הסכום הישר, [math]\displaystyle{ \left(U_1+\cdots+U_{k-1}\right)\cap U_k=\left\{0\right\} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ u_k=0 }[/math]. באופן דומה ממשיכים, ומקבלים [math]\displaystyle{ u_1=\cdots=u_k=0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \boxed{3\Leftarrow2} }[/math]
לפי הגדרת הסכום, לכל [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] יש הצגה כסכום [math]\displaystyle{ w=u_1+\cdots+u_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math]. נניח כי קיימות ל-[math]\displaystyle{ w }[/math] שתי הצגות, [math]\displaystyle{ u_1+\cdots+u_k=w=\tilde{u}_1+\cdots+\tilde{u}_k }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \underbrace{\left (u_1-\tilde{u}_1 \right )}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{\left (u_k-\tilde{u}_k \right )}_{\in U_k}=0 }[/math] לכן, לפי סעיף 2, לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ u_i-\tilde{u}_i=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ u_i=\tilde{u}_i }[/math], ולכן ההצגות זהות.
- [math]\displaystyle{ \boxed{4\Leftarrow3} }[/math]
נניח שקיים [math]\displaystyle{ z\in V }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ z\in U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k }[/math] וכן [math]\displaystyle{ z\in U_i }[/math]. לכן קיימים [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ u_i=z=u_1+\cdots+u_{i-1}+u_{i+1}+\cdots+u_k }[/math]. אבל לפי סעיף 3 נקבל [math]\displaystyle{ u_1=\cdots=u_k=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ z=0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \boxed{5\Leftarrow4} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ \sigma\in S_k }[/math]. ראשית, נוכיח שהסכום [math]\displaystyle{ U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )} }[/math] ישר. לכל [math]\displaystyle{ i=2,\dots,k }[/math], \begin{displaymjx}\left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )} \right )\cap U_i\subseteq \left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )}+U_{\sigma\left(i+1 \right )}+\cdots+U_k \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \}\end{displaymjx} לכן [math]\displaystyle{ \left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )} \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \} }[/math], ומכאן שהסכום ישר.
כעת נוכיח ש-[math]\displaystyle{ W=U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )} }[/math].
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow w\in U_1+\cdots+U_k }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] קיים [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ x=u_1+\cdots+u_k }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] קיים [math]\displaystyle{ u_{\sigma\left(i\right)}\in U_{\sigma\left(i\right)} }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ x=u_{\sigma\left(1\right)}+\cdots+u_{\sigma\left(k\right)} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ w\in U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boxed{1\Leftarrow5} }[/math]
נבחר בתור [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] את תמורת הזהות.
∎
הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגברה לינארית 1, הוכחנו שעבור 2 מרחבים, המימד של הסכום הישר הוא סכום המימדים. נוכיח שנוסחה דומה עובדת במקרה הכללי:
יהי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k }[/math]. אזי:
- אם [math]\displaystyle{ B_i }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ U_i }[/math] (לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math]), אזי [math]\displaystyle{ B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_k }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ \dim V=\dim U_1+\cdots+\dim U_k }[/math].
הוכחה.
- נוכיח פרישה ובת"ל.
- [math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת
- יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. אזי קיימים [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ v=u_1+\cdots+u_k }[/math]. כל [math]\displaystyle{ u_i }[/math] ניתן להציג באמצעות איברים מ-[math]\displaystyle{ B }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ v }[/math] ניתן להציג באמצעות איברים מ-[math]\displaystyle{ B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת.
- [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל
- נובע מסעיף 2 מהלמה הקודמת.
- כמסקנה ישירה מהסעיף הקודם, \begin{displaymjx}\dim V=\left|B\right|=\left | B_1 \right |+\cdots+\left | B_k \right |=\dim U_1+\cdots+\dim U_k\end{displaymjx}
∎
אם [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] נתונים תתי-מרחבים [math]\displaystyle{ V_i,W_i\subseteq U_i }[/math], אזי:
\begin{displaymjx}\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )\end{displaymjx}
הוכחה.
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי [math]\displaystyle{ V_i }[/math] ו-[math]\displaystyle{ W_i }[/math] הם חלקים של [math]\displaystyle{ U_i }[/math], ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר.
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\subseteq} }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right ) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ z=v_1+\cdots+v_k }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ z=w_1+\cdots+w_k }[/math]. קיבלנו שמתקיים \begin{displaymjx}\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in U_k}= \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in U_k}\end{displaymjx} לפי יחידות ההצגה, [math]\displaystyle{ v_i=w_i\in V_i\cap W_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math]; לכן, \begin{displaymjx}z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )\end{displaymjx}
- [math]\displaystyle{ \boxed{\supseteq} }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right ) }[/math], לכן [math]\displaystyle{ z=u_1+\cdots+u_k }[/math].
מצד אחד, [math]\displaystyle{ u_i\in V_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k }[/math]. מצד שני, [math]\displaystyle{ u_i\in W_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k }[/math].
בסך הכל, [math]\displaystyle{ z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right ) }[/math].
∎