לינארית 2/ז'רדון מטריצות ואופרטורים

חזרה למערכי ההרצאה

סיכום - ז’רדון

ניזכר במשפט ז’ורדן:

משפט משפט ז’ורדן הכללי

יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי כך ש-[math]\displaystyle{ p_T\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] ניתן להצגה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה [math]\displaystyle{ J_{m_i}\left(\lambda_i\right) }[/math]. הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

עבור מטריצות הוא מנוסח באופן דומה:

משפט משפט ז’ורדן הכללי למטריצות

כל מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים דומה למטריצת ז’ורדן, וצורת הז’ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math] יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

האלגוריתם לז’רדון

לעיתים נרצה למצוא את המטריצה המז’רדנת [math]\displaystyle{ P }[/math]. אם עובדים עם אופרטורים, בוחרים בסיס (לרוב הסטנדרטי) של המרחב ועוברים לעבוד עם המטריצה המייצגת.

הערה

נניח כי נתונה מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math], כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

1. נמצא את הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math].

2. עבור כל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] נמצא בסיס למרחב העצמי המוכלל [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] באופן הבא:

   1. נסמן ב-[math]\displaystyle{ k }[/math] את החזקה של [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] בפולינום המינימלי.

   2. נמצא בסיס ל-[math]\displaystyle{ V_\lambda\cap C((\lambda I-A)^{k-1}) }[/math] באופן הבא:

      1. נביט במטריצה [math]\displaystyle{ (\lambda I-A)^{k-1} }[/math], ונבחר עמודות [math]\displaystyle{ C_{i_1},\dots,C_{i_p} }[/math] המהוות בסיס למרחב העמודות שלה.

      2. נפתור את מערכת המשוואות [math]\displaystyle{ x_1(\lambda I-A)C_{i_1}+\cdots+x_p(\lambda I-A)C_{i_p}=0 }[/math].

      3. לכל וקטור [math]\displaystyle{ x=(x_1,\dots,x_p) }[/math] בבסיס למרחב הפתרונות נסמן [math]\displaystyle{ u_x=x_1e_{i_1}+\cdots+x_pe_{i_p} }[/math].

      4. לכל וקטור [math]\displaystyle{ x }[/math] בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף לבסיס המז’רדן את העמודות של המסלול (משמאל לימין):

         \begin{displaymjx}(\lambda I-A)^{k-1}u_x,\dots,(\lambda I-A)u_x,u_x\end{displaymjx}

   3. באופן דומה נמשיך ונמצא בסיס ל-[math]\displaystyle{ V_\lambda\cap C((\lambda I-A)^{k-2} }[/math], ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.

   4. ממשיכים כך, עד שמספר הווקטורים שבבסיס הוא הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

3. נאחד את כל הבסיסים המז’רדנים למרחבים העצמיים המוכללים, ונסמן את הבסיס שקיבלנו [math]\displaystyle{ B }[/math]. זהו הבסיס המז’רדן.

4. נשים את איברי [math]\displaystyle{ B }[/math] בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math], וזו המטריצה המז’רדנת; המטריצה [math]\displaystyle{ J=P^{-1}AP }[/math] היא צורת הז’ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math].

האלגוריתם למציאת צורת ז’ורדן

מציאת המטריצה המז’רדנת [math]\displaystyle{ P }[/math] עשויה להיות בעיה קשה ומסורבלת (כמו שראינו). לעיתים לא נתעניין במטריצה המז’רדנת עצמה, ותספיק לנו צורת הז’ורדן של המטריצה או של האופרטור. כעת נציג את הכללים לקביעת צורת הז’ורדן.

הערה

נניח כי נתון אופרטור (או מטריצה) עם פולינום אופייני [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] (המתפרק למכפלה של גורמים לינאריים) ועם פולינום מינימלי [math]\displaystyle{ m(x) }[/math]. אזי לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math],

1. סכום סדרי הבלוקים המתאימים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
2. מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הריבוי הגיאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
3. סדר הבלוק המקסימלי המתאים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא החזקה של [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] בפולינום המינימלי.

חזרה למערכי ההרצאה