נרצה להוכיח כעת שאם יש לנו שני מרחבים וקטוריים עם מכפלה פנימית מאותו מימד, הם בעצם "אותו דבר" (רק משנים את הסמלים של האיברים). כזכור, כדי לומר ששני מרחבים וקטוריים הם "אותו דבר", חיפשנו העתקה לינארית חח"ע ועל ביניהם, הנקראת גם איזומורפיזם. בלינארית 1 הוכחנו ששני מרחבים וקטוריים איזומורפיים אם ורק אם יש להם אותו מימד. כעת ננסה לראות האם עובדה זו נכונה גם אם יש עליהם מכפלה פנימית.
יהיו [math]\displaystyle{ V,V' }[/math] מרחבי מכפלה פנימית. אומרים ש-[math]\displaystyle{ V }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V' }[/math] (ומסמנים [math]\displaystyle{ V\cong V' }[/math]), אם קיים איזומורפיזם [math]\displaystyle{ f:V\rightarrow V' }[/math] של מרחבים וקטוריים, כך שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle f\left(u \right ),f\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \dim V=\dim V' }[/math], אזי [math]\displaystyle{ V }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V' }[/math] (במובן של איזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית).
הוכחה.
נבחר בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] ובסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V' }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ f\left(v_i\right)=v_i' }[/math], ונרחיב את [math]\displaystyle{ f }[/math] לפי לינאריות, כלומר נגדיר \begin{displaymjx}f\left(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right )=\alpha_1v_1'+\cdots+\alpha_nv_n'\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ f }[/math] העתקה לינארית, לפי ההגדרה.
[math]\displaystyle{ \operatorname{im}f=V' }[/math] (כי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ v_i\in\operatorname{im}f }[/math]), ולכן לפי משפט המימדים [math]\displaystyle{ \ker f=\left\{0\right\} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] היא איזומורפיזם.
אם [math]\displaystyle{ u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ואם [math]\displaystyle{ v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n }[/math]. לפי האורתונורמליות, מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}=\left \langle u,v \right \rangle\end{displaymjx}
ולכן [math]\displaystyle{ V\cong V' }[/math].
∎
