לינארית 2/לכסון מטריצות
כעת ננסה להתעסק בשאלה כללית: מתי מטריצה נתונה [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה אלכסונית.
לכסון מטריצות
אומרים שמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה (או ניתנת ללכסון) אם [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה אלכסונית [math]\displaystyle{ D }[/math], כלומר אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] מטריצה אלכסונית. המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] נקראת המטריצה המלכסנת.
לכסון עוזר בהעלאה בחזקה של מטריצה. הסבר:
נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה ו-[math]\displaystyle{ k\in\mathbb{N} }[/math]. נניח ש-[math]\displaystyle{ P }[/math] היא המטריצה המלכסנת של [math]\displaystyle{ A }[/math], ונניח שהמטריצה [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math] היא מטריצה אלכסונית. אזי: \begin{displaymjx}A^k=\left ( PDP^{-1} \right )^k=\underbrace{\left ( PDP^{-1} \right )\left ( PDP^{-1} \right )\cdots\left ( PDP^{-1} \right )}_{k\;\text{times}}=PD^kP^{-1}\end{displaymjx} לכאורה, לא נפטרנו מהבעיה; עדיין צריך להעלות מטריצה בחזקה גבוהה. אבל [math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית, נניח \begin{displaymjx}D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}D^k=\left ( \begin{matrix} \alpha_1^k & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n^k \end{matrix} \right )\end{displaymjx} וזה קל לחישוב!
מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם ורק אם יש ב-[math]\displaystyle{ F^{n} }[/math] בסיס המורכב מוקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math].
אם \begin{displaymjx}P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} אזי איברי הבסיס הנ"ל הם עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math].
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
נניח שהמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה, \begin{displaymjx}P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} נסמן [math]\displaystyle{ e_{1},\ldots ,e_{n} }[/math] וקטורי היחידה. ניקח [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], ונשים לב כי \begin{displaymjx}P^{-1}APe_{i}=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ \lambda_i\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\lambda _{i}e_{i}\end{displaymjx} לכן [math]\displaystyle{ e_{i} }[/math] ו"ע של [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] הקשור לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda _{i} }[/math] ([math]\displaystyle{ A\sim P^{-1}AP }[/math], לכן [math]\displaystyle{ \lambda _{i} }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] ).
קיבלנו כי \begin{displaymjx}P^{-1}APe_{i}=\lambda _{i}e_{i}\end{displaymjx} נכפול ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] משמאל, ואז \begin{displaymjx}A(Pe_{i})=\lambda _{i}(Pe_{i})\end{displaymjx} נסמן [math]\displaystyle{ v_{i}=Pe_{i} }[/math], לכן \begin{displaymjx}Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}v_{i}=\left(\begin{matrix} | & & | \\ p_{1} & \cdots & p_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx}
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
נניח שקיים בסיס [math]\displaystyle{ \left\{v_{1},\dots ,v_{n}\right\} }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נוכיח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. נגדיר \begin{displaymjx}P=\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ Pe_{i}=v_{i} }[/math], לכן [math]\displaystyle{ e_{i}=P^{-1}v_{i} }[/math]. נשים לב כי: \begin{displaymjx}AP=A\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ Av_{1} & \cdots & Av_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} וכעת, נראה כי \begin{displaymjx}P^{-1}AP=P^{-1}\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}P^{-1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}P^{-1}v_{n}\\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} ולכן מצאנו מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] אלכסונית, כדרוש.
∎
איברי האלכסון הראשי של מטריצה אלכסונית הם הערכים העצמיים שלה.
דוגמה - בלוק ז’ורדן
מטריצה מהצורה \begin{displaymjx}J_n\left(\lambda\right)=\left ( \begin{matrix} \lambda & 1 & & 0\\ & \lambda& \ddots& \\ & & \ddots& 1\\ 0 & & & \lambda \end{matrix} \right )\end{displaymjx} (מגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math]) נקראת בלוק (או תא) ז’ורדן מגודל [math]\displaystyle{ n }[/math].
אם [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ J_\lambda }[/math] איננה לכסינה.
הוכחה.
נחפש ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math]. יהי \begin{displaymjx}v=\left(\begin{matrix} \alpha _{1} & \\ \vdots & \\ \alpha _{n} & \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הע"ע היחיד של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math] (כי הוכחנו כאשר דיברנו על ע"ע שעבור מטריצה משולשת, הע"ע הם האיברים שעל האלכסון הראשי שלה). נשים לב: \begin{displaymjx}J_n\left ( \lambda \right )v=\left ( \begin{matrix} \lambda & 1 & &0 \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0& & & \lambda \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )=\lambda v=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} קיבלנו מערכת משוואות: \begin{displaymjx}\left \{ \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2=\lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n=\lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n=\lambda\alpha_n \end{matrix} \right.\Rightarrow\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0\end{displaymjx} לכן כל ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math] הוא מהצורה \begin{displaymjx}v=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אבל \begin{displaymjx}V_{\lambda }(J_{n}(\lambda ))=\left\{ v\in\mathbb{F}^{n}\mid J_{n}(\lambda )v=\lambda v\right\}\end{displaymjx} מרחב וקטורי ממימד 1, לכן למרחב הוקטורי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n} }[/math] אין בסיס המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math] , ולכן [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math] אינו לכסין.
∎
בעצם, מה הפריע לנו? לא היו מספיק וקטורים עצמיים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. בלוק ז’ורדן הוא דוגמה חשובה, והיא תחזור בהמשך הקורס ותקבל תפקיד משמעותי ביותר.