חזרה למערכי ההרצאה
מבוא למשפט ז’ורדן
כעת נראה מהו "משפט ז’ורדן", המשפט שעבדנו כל כך קשה כדי להגיע אליו. עד עכשיו הגענו למסקנה שבהנחה שהפולינום האופייני של אופרטור מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים (הנחה הגיונית, כי במקרה הכי גרוע אפשר להרחיב את השדה לשדה שבו זה יתפרק, ובכל מקרה אם הפולינום האופייני איננו מתפרק למכפלת גורמים לינאריים - לא ניתן אפילו לשלש אותו), קיים פירוק למרחבים עצמיים מוכללים - שזה בעצם סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים. כלומר, הצלחנו לפרק את המטריצה המייצגת למטריצת בלוקים. עכשיו הגיע הזמן לגלות מיהם הבלוקים - הלא הם בלוקי ז’ורדן! כל בלוק יהיה בעצמו מטריצה אלכסונית בלוקים, ששם כל בלוק יהיה בלוק ז’ורדן. לסיכום:
משפט משפט ז’ורדן
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n\left(\mathbb{F}\right) }[/math] מטריצה, כך שהפולינום האופייני שלה, [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math], מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. אזי:
- [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא בלוק ז’ורדן: \begin{displaymjx}A\sim\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda_1 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda_k \right )\end{array}
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} כאשר [math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_k }[/math] אינם בהכרח שונים זה מזה. נסמן את הצורה הזו [math]\displaystyle{ \boxed{J} }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי כך שהפולינום האופייני שלו מתפרק לגורמים לינאריים. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] ניתן להצגה בצורה [math]\displaystyle{ \boxed{J} }[/math].
- ההצגה בצורה [math]\displaystyle{ \boxed{J} }[/math] יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
הגדרה
[math]\displaystyle{ \boxed{J} }[/math] נקראת צורת הזו’רדן ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] (או ל-[math]\displaystyle{ T }[/math]).
הערה
- משפט ז’ורדן הוא הכללה של משפט השילוש.
- במקרה ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים, אפשר לקבל את משפט קאלי-המילטון ממשפט ז’ורדן.
- גם המשפט [math]\displaystyle{ m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n }[/math] נובע ממשפט ז’ורדן.
חזרה למערכי ההרצאה
