לינארית 2/מטריצות אוניטריות
מטריצות אוניטריות
לכל מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A^*=\overline{A^t}=\overline{A}^t }[/math].
אומרים ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם [math]\displaystyle{ AA^*=A^*A=I }[/math].
מההגדרה נובע שכל מטריצה אוניטרית היא הפיכה.
תנאי שקול לאוניטריות: [math]\displaystyle{ A^{-1}=A^* }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית, אזי [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left(A^t \right )^*=\overline{\left(A^t \right )^t}=\overline{A} }[/math], וכיוון ש-[math]\displaystyle{ A^*=A^{-1} }[/math], נקבל כי [math]\displaystyle{ \overline{A}=\left(A^t \right )^*=\left(A^* \right )^t=\left(A^{-1} \right )^t }[/math].
∎
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה אוניטרית. אזי [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] גם אוניטרית.
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left(A^{-1} \right )^{-1}=A=\left(A^* \right )^{-1}=\left(A^{-1} \right )^*\end{displaymjx}
∎
אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] מטריצות אוניטריות, אזי גם [math]\displaystyle{ AB }[/math] אוניטרית.
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left(AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^*A^*=\left(AB \right )^*\end{displaymjx}
∎
הקשר בין מטריצות אוניטריות לנורמליות, לאורתוגונליות ולאורתונורמליות
הגיע הזמן לקשר בין מטריצות אוניטריות לבין המושגים של נורמליות, אורתוגונליות ואורתונורמליות. שני המשפטים הבאים יראו את הקשר (החזק) ביניהם:
[math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם ורק אם השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] מהוות בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הסטנדרטית אם ורק אם העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] גם מהוות בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ A^*=\overline{A}^t }[/math], ולכן השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A^* }[/math] שווה לעמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] צמודה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n }[/math] השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם [math]\displaystyle{ \beta_1,\dots,\beta_n }[/math] העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם [math]\displaystyle{ \alpha_1^*,\dots,\alpha_n^* }[/math] השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], וכן אם [math]\displaystyle{ \beta_1^*,\dots,\beta_n^* }[/math] העמודות של [math]\displaystyle{ A^* }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha_i^*=\overline{\beta_i} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \beta_i^*=\overline{\alpha_i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math].
כעת, [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \left \langle \alpha_i,\alpha_j \right \rangle=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\overline{\alpha}_{jk}=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\beta_{kj}^*=I_{ij}=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right. }[/math] (זו המכפלה הפנימית הסטנדרטית)
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
הוכחנו עבור השורות. כעת, [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] אותם השוויונים ל-[math]\displaystyle{ A^t }[/math] במקום ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{\beta_1,\dots,\beta_n\right\} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
∎
נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים.
מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה אוניטרית.
הוכחה.
כזכור, אם [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים, אם [math]\displaystyle{ G,G' }[/math] מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math] בהתאמה, ואם [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B' }[/math], אזי [math]\displaystyle{ G'=C^tG\overline{C} }[/math].
נניח ש-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math] בסיסים אורתונורמלים, אזי [math]\displaystyle{ G=G'=I }[/math]. לכן מתקיים [math]\displaystyle{ I=C^tI\overline{C} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C^t\overline{C}=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{C}^tC=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C^*C=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C }[/math] אוניטרית.
∎
אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], אזי למטריצות אוניטריות קוראים .
[math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\alpha_{jk}=\delta_{ij} }[/math].