לינארית 2/מרחבים מטריים

חזרה למערכי ההרצאה

מרחק - מרחבים מטריים Metric Spaces

הגדרנו מהו האורך של כל ווקטור, וכעת נגדיר מהו מרחק בין כל שני ווקטורים.

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. מרחק הוא פונקציה [math]\displaystyle{ \rho:V\times V\rightarrow\mathbb{R} }[/math], המקיימת את האקסיומות הבאות:

1. אי-שליליות -
   1. לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)\ge0 }[/math].
   2. [math]\displaystyle{ x=y\Leftrightarrow\rho\left(x\right)=\rho\left(y\right) }[/math].
2. סימטריות - לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)=\rho\left(y,x\right) }[/math].
3. אי-שוויון המשולש - לכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,z \right )\leq\rho\left(x,y \right )+\rho\left(y,z \right ) }[/math].

הערה

המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\| }[/math].

הוכחה.

נוכיח שזה אכן מרחק.

1. אי-שליליות - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה.

   \begin{displaymjx}\rho\left(x,y \right )=0\Leftrightarrow\left \| x-y \right \|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\end{displaymjx}

2. סימטריות - לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], \begin{displaymjx}\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )\end{displaymjx}

3. אי-שוויון המשולש - לכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math], \begin{displaymjx}\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )\end{displaymjx}

∎

דוגמה

ניקח את [math]\displaystyle{ V }[/math] להיות המרחב הווקטורי של כל הפונקציות הרציפות [math]\displaystyle{ f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} }[/math].

1. נגדיר מכפלה פנימית על [math]\displaystyle{ V }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \left \langle f,g \right \rangle=\int _0^1f\left(x \right )g\left(x \right )\mathrm{d}x }[/math].

   הנורמה המושרית: [math]\displaystyle{ \left \| f \right \|=\sqrt{\int_0^1\left[f\left(x \right ) \right ]^2\mathrm{d}x} }[/math].

   המרחק המושרה: [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y \right )=\sqrt{\int_0^1\left[f\left(x \right )-g\left(x \right ) \right ]^2\mathrm{d}x} }[/math].

2. נגדיר נורמה על [math]\displaystyle{ V }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \left \| f \right \|=\underset{0\leq x\leq1}{\max}\left|f\left(x \right ) \right | }[/math].

חזרה למערכי ההרצאה