לינארית 2/משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד
משפט ז’ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד
הוכחנו את משפט ז’ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר:
משפט משפט ז’ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד
הוכחנו את משפט ז’ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר:
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-[math]\displaystyle{ T }[/math] הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא [math]\displaystyle{ J_m\left(\lambda\right) }[/math]. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים.
הוכחה.
נתבונן באופרטור [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math]. הוא נילפוטנטי, כי לפי משפט קאלי-המילטון, \begin{displaymjx}\left(T-\lambda I\right)^n=p_T\left(T\right)=0\end{displaymjx} לפי משפט ז’ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה [math]\displaystyle{ J_m\left(0\right) }[/math]. במילים אחרות, קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך שמתקיים: \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(0 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(0 \right ) \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} ונקבל \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda \right ) \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} היחידות היא מסקנה מיידית מהיחידות במקרה הנילפוטנטי.
∎