חזרה למערכי ההרצאה
נורמה
הגענו להגדרת המושג "נורמה", שהוא הכללה של אורך. באופן כללי, נרצה שאורך יהיה מספר ממשי אי-שלילי, ושרק וקטור האפס יהיה מאורך אפס; נרצה שמתיחת וקטור תגדיל (או תקטין, אם מדובר על כיווץ) פי אותו גורם (בערך מוחלט, אם הוא שלילי); ונרצה שיתקיים אי-שוויון המשולש המפורסם (סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית). ננסח את ההגדרה:
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מרחב וקטורי. נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ \left \| \quad \right \|:V\rightarrow\mathbb{R} }[/math], המקיימת את האקסיומות הבאות:
- אי-שליליות -
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \left \| v\right \|\ge0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ v=0\Leftrightarrow \left \| v\right \|=0 }[/math].
- הומוגניות - לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ \left \| \alpha v\right \|=\left|\alpha\right|\left\|v\right\| }[/math].
- אי-שוויון המשולש - לכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \left \| u+v\right \|\leq\left \| u \right \|+\left \| v \right \| }[/math].
הערה
אם [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, אזי נגדיר נורמה על [math]\displaystyle{ V }[/math]: [math]\displaystyle{ \left \| v\right \|=\sqrt{\left \langle v,v \right \rangle} }[/math].
הוכחה.
נוכיח שזו אכן נורמה.
- אי-שליליות - טריוויאלי.
- [math]\displaystyle{ \left \| \alpha v\right \|=\sqrt{\left \langle \alpha v,\alpha v \right \rangle}=\sqrt{\alpha\overline{\alpha}\left \langle v,v \right \rangle}=\sqrt{\left|\alpha \right |^2\left \langle v,v \right \rangle}=\left|\alpha\right|\sqrt{\left \langle v,v \right \rangle}=\left |\alpha \right |\left \| v \right \| }[/math]
- נבדוק בהמשך, ובינתיים נאמין. כלומר, [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] - חור.
∎
נורמה כזו נקראת הנורמה המושרית על ידי המכפלה הפנימית.
חזרה למערכי ההרצאה
